AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析

BOX-JENKINS预测法1适用于平稳时序的三种基本模型（1）()ARp模型（AutoregressionModel）——自回归模型p阶自回归模型：𝑦𝑡=𝑐+∅1𝑦𝑡−1+∅2𝑦𝑡−2+⋯+∅𝑝𝑦𝑡−𝑝+𝑒𝑡式中，𝑦𝑡为时间序列第𝑡时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；𝑦𝑡−1，𝑦𝑡−2，⋯，𝑦𝑡−𝑝为时序𝑦𝑡的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；𝑒𝑡是随机误差项；𝑐，∅1，∅2，⋯，∅𝑝为待估的自回归参数。（2）()MAq模型（MovingAverageModel）——移动平均模型q阶移动平均模型：1122ttttqtqyeeee式中，为时间序列的平均数，但当{}ty序列在0上下变动时，显然=0，可删除此项；te，1te，2te，…，tqe为模型在第t期，第1t期，…，第tq期的误差；1，2，…，q为待估的移动平均参数。（3）(,)ARMApq模型——自回归移动平均模型（AutoregressionMovingAverageModel）模型的形式为：11221122tttptptttqtqycyyyeeee显然，(,)ARMApq模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。当q=0,时，退化为纯自回归模型()ARp；当p=0时，退化为移动平均模型()MAq。2改进的ARMA模型（1）(,,)ARIMApdq模型这里的d是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d的取值一般为0,1,2。对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMApq模型。这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。（2）(,,)(,,)sARIMApdqPDQ模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。这里的D即为进行季节差分的阶数；,PQ分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S=12，时序为季度数据，则S=4。在SPSS19.0中的操作如下必须要先打开一个数据源，才可以定义日期数据定义日期选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。（3）ARIMAX模型在(,,)(,,)sARIMApdqPDQ模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X。3模型的识别模型的识别的本质是确定(,,)(,,)sARIMApdqPDQ中的,,pdq以及,,PDQ与S的取值。借助于自相关函数（AutocorrelationFunction,ACF）以及自相关分析图和偏自相关函数（PartialCorrelationFunction,PACF）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p、q、P、Q。3.1自相关函数自相关是时间序列12,,tYYY诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。自相关程度的大小，用自相关系数kr度量。121()()()nkttktknttyyyyryy式中，n为样本数据的个数；k为滞后期；y为样本数据平均值。自相关系数kr，可看作自变量k的函数，即自相关函数。它表示时间序列滞后k个时间段的两项之间相关的程度。如1r表示每相邻两项间的相关程度；2r表示每隔一项的两个观察值得相关程度。随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0为均值，1n为标准差的正态分布。自相关系数的95%置信区间为(1.96,1.96)，此处1n。如果一个时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则认为该序列是纯随机序列。将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用2倍标准差作为置信区间的两个端点），被称作自相关分析图。SPSS19.0中的操作1.输入变量数据；定义时间序列日期（数据定义日期）2.分析预测自相关（如下）；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中3.勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选（如果为非平稳序列，可勾选差分/自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为0,1,2）未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，此时需要进行差分处理，即在重复第2步时，差分选项选择1或2。3.2偏自相关函数偏自相关函数是时间序列tY，在给定了121,,tttkYYY的条件下，tY与tkY之间的条件相关。由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。偏自相关系数kk计算公式如下。111,111,112,3,1kkkjkjkkjkkjkjjrkrrkr偏自相关系数kk，可看作自变量k的函数，即偏自相关函数，11kk。它用以测量当剔除其他滞后期（1,2,3,,1tk）的干扰的条件下，tY与tkY之间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行识别。3.3ARIMA模型的参数确定Step1：判断时序是否平稳，若不平稳，经过若干次逐期差分或季节差分使其平稳，则可确定d和D。对于社会经济现状，一般d和D的数值取0,1或2。若自相关系数ACF随着滞后期（一般设为16）增大，而迅速趋于0，则认为该时序是平稳的。若自相关系数ACF随着滞后期增大，自相关系数ACF不趋于0，则认为该时序是非平稳的。更具体地说，若随着时滞k的增大，自相关系数ACF缓慢减小，说明随着序列两项间隔的提前，相关程度变弱，则序列具有趋势性；若对于季度数据或月度数据，当滞后期为4（或12），8（24）等时，自相关系数ACF显著地部位0，即在随机区间之外，则意味着该时序具有季节性。如果时序具有趋势性，那么需要进行逐期差分，由逐期差分的次数决定d的取值；如果序列具有季节性，那么要进行季节差分，由季节差分次数决定D的值。左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的ACF图，可以看出自相关系数并未迅速趋于0，说明该时序是非平稳的。右侧为该序列的线性图，也正说明了该时序是有明显的上升趋势的，需要进行差分处理。Step2：经差分平稳后，确定时序所适合的模型，其依据如下表所示。(,)ARMApq序列特征表模型()ARp()MAq(,)ARMApq自相关函数拖尾指数衰减和（或）正弦衰减截尾拖尾指数衰减和（或）正弦衰减偏自相关函数截尾（阶）拖尾指数衰减和（或）正弦衰减拖尾指数衰减和（或）正弦衰减关于,pq的取值当不包括时滞12k（或4），24（或8），p取落入随机区间之外的偏相关系数PACF的个数或与0有显著差异的PACF的个数，q取落入随机区间之外的自相关系数ACF的个数或与0有显著差异的ACF的个数。当仅观察时滞12k（或4），24（或8），p取显著不为0的PACF的个数，q取显著不为0的季节自相关数目。4案例分析4.1数据准备某城市农村居民收入数据（1980-2015年）单位：元年份数据年份数据年份数据1980261.001992792.1820044027.031981274.001993938.4520054465.991982291.0019941312.2420064845.351983312.0019951655.0020075623.241984344.0019961989.5720086627.261985362.0019972218.8920096627.001986382.0019982199.3820107182.531987421.0019992840.1020119104.001988504.0020002941.8020128864.851989557.0020012981.78201310013.031990659.0020023048.55201411547.001991685.7120033208.84201512736.00对36年农村居民收入建立B-J模型，并预测2016年的收入情况。4.2时序分析Step1：将数据输入到SPSS19.0中，并定义变量的精度为小数点后两位；Step2：定义日期。数据——定义日期——输入“1980”因为本次数据没有季节性，所以只需要选择年份为1980年，如下图。Step3：绘制其时序图，观察其是否平稳。分析——预测——序列图此时可以看出该曲线有明显上升趋势，为非平稳序列，需要进行差分平稳化。同时，也可以绘制自相关图形（操作：分析——预测——自相关）来观察其趋势，如下图。由上面自相关系数图可知，随着延迟数目的增加，系数并没有显著的趋近于0，且许多数值较大的系数落在了置信区间之外，说明该时间序列并非平稳的。4.3差分平稳化对时间序列进行差分平稳，并绘制相关系数图和偏自相关系数图如下。操作为：分析——预测——自相关（勾选：1阶差分）从右侧图形可以看出，在滞后期k=3之后，自相关函数衰减，并且均在置信区间范围之内，因此可以认为该序列平稳了。再观察变换后的序列的偏自相关函数图，如下图。其中33=0.437较大，其他并没有明显趋于0，可以认为在K=3后拖尾，而自相关函数可以看做是K=3后截尾，也可以看做为拖尾。（自拖，偏拖）——ARIMA模型，（自截，偏拖）——MA模型，因此，经过一阶差分变换后的农村居民收入所选定的模型为(3,1,3)ARIMA或(0,1,3)ARIMA。分别对两个模型进行拟合和预测，比较其精度。4.4建立ARIMA模型4.4.1ARIMA（3,1,3）模型Step1：菜单栏：分析——预测——创建模型在变量栏中，将农村居民收入移入因变量框中；方法选择ARIMA模型，点击右侧“条件”，输入自回归，差分和移动平均数的值。Step2：确定输出的统计量和相关信息。其中拟合值和置信区间可备选，根据需要选择。如果需要预测下一年的数据值，必须要在变量栏中的时间变量下再加入一个年份值，否则不会显示预测值，如下图。模型结果分析可以看到模型的R平方为0.990，平稳的R方为0.493，说明模型的拟合效果较好，预测值为13387.9。将实际值和预测值画在同一个时序图中如下。4.4.2ARIMA（0,1,3）模型步骤和上面基本一致，只是在创建模型的时候，把条件中的自回归p值改为0，运算结果如下。上述统计量表明，该模型的R平方值为0.988，平稳的R方为0.365，sig值为0.421，与(3,1,3)ARIMA相比，三个统计量都小于(3,1,3)ARIMA模型，因此可以认为(3,1,3)ARIMA模型的结果更为可信和准确。则2016年农村收入为13387.9。