动点问题练习含答案

动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。当t=时，四边形是平行四边形；6当t=时，四边形是等腰梯形.82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为53、如图，在RtABC△中，9060ACBB°，°，2BC．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CEAB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为．（1）①当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=23.∴AO=12AC=3.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.OECBDAlOCBA（备用图）CBAED图1NMABCDEMN图2ACBEDNM图3(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE∵AC=BC∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE(3)当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF△≌△，所以AEEF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME．BMBE．45BME°，135AME°．CF是外角平分线，45DCF°，135ECF°．AMEECF．90AEBBAE°，90AEBCEF°，BAECEF．AMEBCF△≌△（ASA）．AEEF．（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使ANCE，连接NE．BNBE．45NPCE°．四边形ABCD是正方形，ADBE∥．DAEBEA．NAECEF．ANEECF△≌△（ASA）．AEEF．6、如图,射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△PAB为等腰三角形的t值；（2）△PAB为直角三角形的t值；（3）若AB=5且∠ABM=45°，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值ADFCGEB图1ADFCGEB图3ADFCGEB图2ADFCGEBMADFCGEBN7、如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC∥，E是AB的中点，过点E作EFBC∥交CD于点F．46ABBC，，60B∠.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB∥交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.①当点N在线段AD上时（如图2），PMN△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EGBC于点G．∵E为AB的中点，∴122BEAB．在RtEBG△中，60B∠，∴30BEG∠．∴22112132BGBEEG，．ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM（第25题）即点E到BC的距离为3．（2）①当点N在线段AD上运动时，PMN△的形状不发生改变．∵PMEFEGEF，，∴PMEG∥．∵EFBC∥，∴EPGM，3PMEG．同理4MNAB．如图2，过点P作PHMN于H，∵MNAB∥，∴6030NMCBPMH∠∠，∠．∴1322PHPM．∴3cos302MHPM．则35422NHMNMH．在RtPNH△中，222253722PNNHPH．∴PMN△的周长=374PMPNMN．②当点N在线段DC上运动时，PMN△的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角形．当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR．类似①，32MR．∴23MNMR．∵MNC△是等边三角形，∴3MCMN．此时，6132xEPGMBCBGMC．当MPMN时，如图4，这时3MCMNMP．此时，61353xEPGM．当NPNM时，如图5，30NPMPMN∠∠．则120PMN∠，又60MNC∠，∴180PNMMNC∠∠．因此点P与F重合，PMC△为直角三角形．∴tan301MCPM．此时，6114xEPGM．综上所述，当2x或4或53时，PMN△为等腰三角形．8、如图，已知ABC△中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点．(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动图3ADEBFCPNM图4ADEBFCPMN图5ADEBF（P）CMNGGRG图1ADEBFCG图2ADEBFCPNMGH①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t秒，∴313BPCQ厘米，∵10AB厘米，点D为AB的中点，∴5BD厘米．又∵8PCBCBPBC，厘米，∴835PC厘米，∴PCBD．又∵ABAC，∴BC，∴BPDCQP△≌△．②∵PQvv，∴BPCQ，又∵BPDCQP△≌△，BC，则45BPPCCQBD，，∴点P，点Q运动的时间433BPt秒，∴515443QCQvt厘米/秒。（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104xx，解得803x秒．∴点P共运动了803803厘米．∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．AQCDBP【答案】解：（1）证明：如图，连接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC。∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。∴△ABC和△ACD为等边三角形。∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。作AH⊥BC于H点，则BH=2，22AECFABC11SSBCAHBCABBH4322四形边。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF221432323332。∴△CEF的面积的最大值是3。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF=60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（