数值分析第六章函数逼近

1第六章函数逼近§1数据拟合的最小二乘法§2正交多项式2Lagrange插值与最小二乘逼近的图像描述3方法1:用3次Lagrange插值多项式近似x,y的函数关系.为什么要用最小二乘逼近.xiyi24681.12.84.97.2例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.方法2:用直线来近似x,y的函数关系.4用直线y=a0+a1x来反映x,y之间的函数关系.如何选取a0,a1?才能使直线最好地反映数据点的基本趋势?)(10iiixaayxaay10ixaa10iyiTn),,,(21残差向量残差5衡量近似函数好坏的标准：残差向量的大小(1)使残差的绝对值之和最小,即||min||||min1,1,1010iniaaaa(2)使残差的最大绝对值最小,即||maxmin||||min1010,,iiaaaa(3)使残差的平方和最小,即niiaaaa12,22,||min||||min1010最佳平方逼近或数据拟合的最小二乘法最佳一致逼近6问题:给定n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)ix2x1xnxiy1y2yny求直线y=a0+a1x使得niiixaay1102)(达到最小.最小二乘一次多项式拟合§1数据拟合的最小二乘法7niiixaayaaF110102)(),(令则原问题等价于求a0,a1使F(a0,a1)达到最小.利用多元函数取极值的必要条件得niiiiniiixxaayaFxaayaF110111002020niiiniiniiniiniiyxaxaxyaxna1112011110正则方程组8,,,,21201011112xxxyxxyxxxxxyyxxxyyxxxxniiyiniixyniixniixxSnSSSnSaSnSSSSSaSSaaSSSnySyxSxSxS设由上式求得a0,a1,代入y=a0+a1x得到最小二乘拟合(直线)一次多项式.9xiyi24681.12.84.97.2例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.解208642xS12086422222xxS162.79.48.21.1yS4.1002.789.468.241.12xyS4.100161202020410aa02.11.110aa1.102.1xy正则方程组10直线拟合误差很大抛物线拟合效果更好11问题:给定n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)ix2x1xnxiy1y2yny求,2210xaxaay使得niiiixaxaay122102)(达到最小.最小二乘二次多项式拟合12niiiixaxaayaaaF122102102)(),,(令则原问题等价于求a0,a1,a2,使F(a0,a1,a2)达到最小.利用多元函数取极值的必要条件得niiiiiniiiiiniiiixxaxaayaFxxaxaayaFxaxaayaF122210212210112210020202013niiiniiiniiniiniiniiniiniiniiniiniiyxyxyaaaxxxxxxxxn121121014131213121121用Cholesky分解法求此对称正定阵用MATLAB函数z=A\r由上式求得a0,a1,a2,得到最小二乘拟合二次多项式正则方程组14niiiniiiniiiniiniiniiniiniiniiniiniiniiniiniiniiniiniiniiniiyxyxyxyaaaaxxxxxxxxxxxxxxxn13121132101615141315141312141312113121niiiiixaxaxaayaaaaFxaxaxaaxP1233221032103322103)(),,,()(最小二乘三次多项式拟合正则方程组15niiminiiiniimniminiminiminiminiiniiniminiiyxyxyaaaxxxxxxxxn11110121111112111nimimiimmmmxaxaayaaaFxaxaaxP12101010)(),,,()(最小二乘m次多项式拟合(mn)正则方程组16指数拟合如果数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)的分布近似指数曲线,则可考虑用指数函数axbey去拟合数据.但是这是一个关于a,b的非线性模型,故应通过适当变换,将其化为线性模型,然后利用最小二乘法求解.为此,对指数函数两端取对数,得axbylnln17则数据组(xi,yi)(i=1,2,…,n)的最小二乘拟合指数曲线为xaeaexaaeyey1010~这表明(xi,lnyi)(i=1,2,…,n)的分布近似于直线,求出此数据组的最小二乘拟合直线xaay10~18xiyi例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.12346782367532(1)作散点分布图点的分布近似为抛物线19(2)确定近似表达式设拟合曲线为二次多项式22102)(xaxaaxPy(3)建立正则方程组,7n,3171iix,179712iix,1171713iix,8147714iix,2871iiy,12171iiiyx,635712iiixy20故正则方程组为6351212881471171179117117931179317210aaa(4)求解正则方程组得,3864.0,4318.3,3182.1310aaa故所求拟合曲线为.3864.04318.33182.1)(22xxxPy21xiyi例给定一组实验数据如下求x,y的函数关系.12346782367532Matlab解法:polyfit([1,2,3,4,6,7,8],[2,3,6,7,5,3,2],2)ans=-0.38643.4318-1.318222例测得一发射源的发射强度I与时间t的一组数据如下tiIi0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法确定I与t的函数关系.tI(1)作散点分布图可以考虑用指数函数近似23列数据表tiIi0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56lnIi1.15060.86710.55960.292700.30110.5798求lnI与t的最小二乘直线.将上表数据代入正则方程组得1858.09891.103.25.35.3710aa其解为.89.2,73.110aa故所求拟合曲线为.64.589.289.273.1lnttIeeeI24列数据表tiIi0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56lnIi1.15060.86710.55960.292700.30110.5798求lnI与t的最小二乘直线.将上表数据代入正则方程组得1858.09891.103.25.35.3710aa其解为.89.2,73.110aa故所求拟合曲线为.64.589.289.273.1lnttIeeeIMatlab解法:polyfit([0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],…[1.1506,0.8671,0.5596,0.2927,0,-0.3011,-0.5798],1)ans=-2.88831.728325求数据组的最小二乘拟合函数的步骤(1)由给定数据确定近似函数的表达式,一般可通过描点观察或经验估计得到.(2)按最小二乘原则确定表达式中的参数,即由残差平方和最小导出正则方程组,求解得参数.26实际问题中,由于各点的观测数据精度或重要性不同,常常引入加权方差,即确定参数的准则为:使得niii12最小,其中i(i=1,2,…,n)为加权系数.27函数内积设f(x),g(x)是区间[a,b]上的连续函数,定义f与g的内积为:.)()(),(dxxgxfgfba§2正交多项式28函数正交设f(x),g(x)是区间[a,b]上的连续函数,若f与g的内积为0,则称f与g在区间[a,b]上正交..0)()(],[dxxgxfbagfba上正交在区间与29正交函数系满足如果函数系),(,),(),(21xfxfxfn),2,1,0,(,,,0)()(,kjkjkjdxxfxfffkbakjkj则称此函数系为区间[a,b]上的正交函数系.特别地,若k=1(k=0,1,2,…),则称其为标准正交函数系30如果正交函数系中函数均为代数多项式,则称其为正交多项式系.正交多项式系例如三角函数系,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx就是区间[－,]上的正交函数系.31区间[－1,1]上的正交多项式系(Legendre多项式)一般表达式),2,1,0(1!21)(2nxdxdnxPnnnnn具体表达式,1)(0xP,)(1xxP),13(21)(22xxP),35(21)(33xxxP32Legendre多项式的性质且上的正交函数系是区间,]1,1[)}({)1(xPn.,122,0)()(,11mnnmndxxPxPPPmnmn(2)Legendre多项式满足递推公式),2,1()()()12()()1(11nxnPxxPnxPnnnn33任意区间上的正交多项式系当x在区间[a,b]上变化时,令,22tababx对应的t在[－1,1]上变化,则ababxPtPnn)(2,)(即是区间[a,b]上的正交多项式系.34[0,1]区间上的正交多项式系12xt,1)(~0xP,12)(~1xtxP,166)13(21)(~222xxtxP35上机作业•第205页第2题.