有理函数的不定积分

第四节有理函数的不定积分直接积分法;换元积分法;分部积分法一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例本节内容:一、有理函数的积分)()()(xQxPxRnnnaxaxa110有理函数:nm时,为假分式;nm时,为真分式有理函数除法多项式+真分式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法22)1()1(1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx(2)用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB)3)(2()2()3(xxxBxA)2()3(3xBxAxAx得取2故25x原式36x-5,Bx得取36)1)(21()21)(()1(22xxxCBxxA),21)(()1(12xCBxxAAx得取21)1)(21(12xxxA2121xCBx52B,51C原式=x214512112xx,54,10CAx得取),(3211CBAx得取四种典型部分分式的积分:CaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2xqxpxNxMd.32xqxpxNxMnd)(.42变分子为2(2)Mxp2pMN再分项积分因为分母的导数为2x＋p例2.求解:已知)1)(21(12xx51x214212xx211xxx21)21(d52原式221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan51例3.求解:原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23xxxd)4)(1(22)4()1(22xx例4.求xxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例5.求解:原式xxxd)22(22)22(2xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x2212xxC例6.求解:原式xxd14)1(2x)1(2x211d4xx2arctan2211xx21221ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx2)(2121xx)d(1xx注意本题技巧按常规方法较繁二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令2tanxt万能代换t的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分则例7.求.d)cos1(sinsin1xxxx解:令,2tanxt则222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1(sinsin12121tt212tt)1(2211ttttd212tttd122121221tt2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21例8.求解:原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明:通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便.的有理式用代换解:xttan令原式dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos例9.求)0(d)cossin(12baxxbxa2.简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根根式代换化为有理函数的积分.例如:,d),,(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp例10.求.21d3xx解:令,23xu则原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221uuu1lnC例11.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数,6tx则有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnC令2,3的最小公倍数6,例12.求.d11xxxx解:令,1xxt则原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttC内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定简便,要注意综合使用基本积分法,简便计算.思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612.原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121