2.4 控制系统结构图与信号流图

第四节控制系统结构图与信号流图提纲：一、控制系统的结构图二、控制系统的信号流图三、控制系统的传递函数引言：求系统的传递函数时，需要对微分方程组或经拉氏变换后的代数方程组进行消元。而采用结构图或信号流图，更便于求取系统的传递函数，还能直观地表明输入信号以及各中间变量在系统中的传递过程。因此，结构图和信号流图作为一种数学模型，在控制理论中得到了广泛的应用。一、控制系统的结构图（一）结构图的概念图2-24RC网络的微分方程式为:1d1drcuRiitCuitCrcuuRi1dcuitC也可写为:(2.78)(2.79)图2-24RC网络对上面二式进行拉氏变换，得:()()()rcUsUsRIs(2.78a)(2.79a)将式(2.78a)表示成:1[()()]()rcUsUsIsR图2-25(a)描绘了上式。图中符号表示信号的代数和，箭头表示信号的传递方向，称作“加减点”或“综合点”。方程(2.79a)用图2-25(b)表示。将图2-25(a)、图2-25(b)合并如图2-25(c)所示，得RC网络的结构图。图中由Uc(s)线段上引出的另一线段称为引出点。1()()cUsIsCs图2-25RC网络的结构图结构图：根据由微分方程组得到的拉氏变换方程组，对每个子方程都用上述符号表示，并将各图形正确地连接起来，即为结构图，又称为方框图。结构图也是系统的一种数学模型，它实际上是数学模型的图解化。（二）系统结构图的建立建立系统的结构图，其步骤如下：（1）建立控制系统各元部件的微分方程。（2）对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。（3）按系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，置系统的输入变量于左端，输出变量于右端，便得到系统的结构图。例2.1位置随动系统如图2-26所示，试建立系统的结构图。图2-26位置随动系统原理图解系统各部分微分方程经拉氏变换后的关系式为式(2.80)然后作出每个子方程的结构图，如图2-27(a)～(h)所示:ercsss()()()sseUsKs()()()()aasUsKUs()()()abaaaUsEsIsLsR(2.80)(a)(b)(c)(d)图2-27式(2.80)(a)~(d)子方程框图()()dmaMsKIsdLmMsMsssBs2)()()(J()()bemEsKss1()()cmssi(e)(f)(g)(h)图2-27式(2.80)(e)~(h)子方程框图按系统中各元件的相互关系，分清各输入量和输出量，将各结构图正确地连接起来（图2-28）。图2-28位置随动系统结构图略去La，系统结构图如图2-29所示：图2-29La=0的位置随动系统结构图例2.2试绘制图2-30所示无源网络的结构图。图2-30例2.3网络图图2-31例2.3网络的结构图解：ur为网络输入，uc为网络输出。一个系统的结构图不是唯一的，但经过变换求得的总传递函数都应该是相同的。上例所示网络的结构图还可用图2-32表示。图2-32例2.3网络结构图的另一种形式（三）结构图的等效变换结构图的运算和变换，就是将结构图化为一个等效的方框，使方框中的数学表达式为总传递函数。结构图的变换应按等效原理进行。1．结构图的基本组成形式结构图的基本组成形式可分为三种：（1）串联连接方框与方框首尾相连。前一个方框的输出，作为后一个方框的输入。（2）并联连接两个或多个方框，具有同一个输入，而以各方框输出的代数和作为总输出。（3）反馈连接一个方框的输出，输入到另一个方框，得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端。如图2-37所示。图中A处为综合点，返回至A处的信号取“+”，称为正反馈；取“-”，称为负反馈。负反馈连接是控制系统的基本结构形式。图2-37反馈连接结构图中引出信息的点（位置）常称为引出点。2．结构图的等效变换法则（1）串联方框的等效变换图2-38串联结构的等效变换由图2-38可写出：12()()()GsGsGs(2.81)两个传递函数串联的等效传递函数，等于该两个传递函数的乘积。图2-39n个方框串联的等效变换如图2-39所示。n个传递函数依次串联的等效传递函数，等于n个传递函数的乘积。（2）并联连接的等效变换G1(s)与G2(s)两个环节并联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的代数和，即：等效变换结果见图2-40(b)。G(s)=G1(s)±G2(s)(2.82)图2-40n个传递函数并联其等效传递函数为该n个传递函数的代数和，如图2-41所示：图2-41n个方框并联的等效变换（3）反馈连接的等效变换图2-42(a)为反馈连接的一般形式，其等效变换结果如图2-42(b)所示。图2-42反馈连接的等效变换由图2-42(a)得：()()()()()()()()()CsGsEsBsHsCsEsRsBs消去E(s)和B(s)，得:()()[()()()]CsGsRsHsCs[1()()]()()()GsHsCsGsRs()()()()1()()BCsGsGsRsGsHs因此:(2.83)式(2.83)为系统的闭环传递函数。式中分母的加号，对应于负反馈；减号对应于正反馈。H(s)=1，常称作单位反馈，此时:()()1()BGsGsGs(2.84)（4）综合点与引出点的移动a.综合点前移图2-43表示了综合点前移的等效变换。挪动前的结构图中，信号关系为:(a)原始结构图(b)等效结构图图2-43综合点前移的变换()CGsRQ挪动后，信号关系为:1()[()]CGsRGsQ()GsRQb.综合点之间的移动图2-44为相邻两个综合点前后移动的等效变换。(a)原始结构图(b)等效结构图图2-44相邻综合点的移动挪动前，总输出信号:挪动后，总输出信号:CRXYCRYXc.引出点后移在图2-45中给出了引出点后移的等效变换。(a)原始结构图(b)等效结构图图2-45引出点后移的变换挪动后的支路上的信号为:1()()RGsRRGsd.相邻引出点之间的移动若干个引出点相邻，引出点之间相互交换位置，完全不会改变引出信号的性质。如图2-46所示。图2-46相邻引出点的移动3.结构图变换举例例2.3根据图2-29，求位置随动系统的闭环传递函数GB(s)图2-48图2-29结构图的等效变换过程图2-29系统结构图有两个反馈回路，里面的称为局部反馈回路，外面的称为主反馈回路。先将局部反馈回路中的前向通路合并成一个方框，（图2-48(a)）;运用反馈法则将局部反馈回路化简为一个方框，得到图2-48(b)；继而用串联法则可化简为图2-48(c)，最后用单位反馈变换法则将结构图简化为一个方框（图2-48(d)），即求得c(s)与r(s)的关系式。例2.4简化图2-49所示系统的结构图，并求系统传递函数GB(s)〔即C(s)/R(s)〕。图2-49多回路系统结构图解将综合点后移，然后交换综合点的位置，将图2-49化为图2-50(a)。然后，对图2-50(a)中由G2，G3，H2组成的小回路实行串联及反馈变换，进而简化为图2-50(b)。图2-50图2-49系统结构图的变换再对内回路再实行串联及反馈变换，则只剩一个主反馈回路。如图2-50(c)。最后，再变换为一个方框，如图2-50(d)，得系统总传递函数：123423234312341()()()1BGGGGCsGsRsGGHGGHGGGGH思考：第一步的变换也可采用其它的移动办法。例2.5将图2-34所示两级RC网络串联的结构图化简，并求出此网络的传递函数G(s)〔即Uc(s)/Ur(s)〕。解图2-34结构图中，必须先移动综合点与引出点。综合点与引出点合理移动后，消除了交叉关系，如图2-51(a)所示。然后化简两个内回路，得到图2-51(b)，最后实行反馈变换，即得网络传递函数，见图2-51(c)。图2-51图2-34结构图的变换简化结构图求总传递函数的一般步骤：•1.确定输入量与输出量，如果作用在系统上的输入量有多个（分别作用在系统的不同部位），则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。对于有多个输出量的情况，也应分别变换。•2.若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。•3.对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。二、控制系统的信号流图信号流图和结构图一样，都是控制系统中信号传递关系的图解描述。图2-52多回路系统（一）信号流图的定义信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络。下面介绍几个常用术语：（1）输入节点只有输出支路的节点称为输入节点。它一般表示系统的输入变量。（2）输出节点只有输入支路的节点称为输出节点。它一般表示系统的输出变量。（3）混合节点既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。（4）通路从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点所构成的路径称为通路。通路中各支路增益的乘积叫做通路增益。（5）前向通路是指从输入节点开始并终止于输出节点且与其它节点相交不多于一次的通路。该通路的各增益乘积称为前向通路增益。（6）回路通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的通路称为回路。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。（7）不接触回路一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，则称为不接触回路，反之称为接触回路。信号流图可以根据系统微分方程绘制，也可以由系统结构图按照对应关系得出。（二）用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数借助于梅逊公式，不经任何结构变换，便可以得到系统的传递函数。梅逊公式的表达式为：G(s)为待求的总传递函数。1()nkkkPGs(2.85)式中Δ——称为特征式，n——从输入节点到输出节点所有前向通路的条数；1iijijkLLLLLL且(2.86)Pk——从输入节点到输出节点第k条前向通路的增益；k——在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分，称为余子式；∑Li——所有各回路的回路增益之和；∑LiLj——所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；∑LiLjLk——所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和；在回路增益中应包含代表反馈极性的正、负符号。图2-52（b）中共有四个回路，故：4123411234561232453344iiLLLLLGGGGGGHGGHGGHGGH四个回路中，只有Ⅱ、Ⅲ回路互不接触，没有重合的部分。23232453234523()()ijLLLLGGHGGHGGGGHH0ijkLLL而故可得特征式：123456123245334423452311iijLLLGGGGGGHGGHGGHGGHGGGGHH图2-52（b）中只有一条前向通路，故P1=G1G2G3G4G5G6由于所有回路均与前向通路相接触，故余子式1=1。图2-52（b）系统的总传递函数为：111234561234561232453344234523()1pGsGGGGGGGGGGGGHGGHGGHGGHGGGGHH例2.6求图2-53所示系统的传递函数。解回路有四个：L1=G1G2H1，L2=G2G3H2，L3=G1G2G3，L4=G1G4。回路中L2与L4不接触，L2L4=（G2G3H2）（G1G4）因而特征式：1L1L2L3L4L2L41G1G2H1G2G3H2G1G2G3G1G4G1G2G3G4H2图2-53例2.9系统结构图有两条前向通路，故k=2。P1=G1G2G3，与每个回路均有接触，P1的余子式Δ1=1；P2=G1G4，与回路L2=G2G3H2不接触，P2的余子式Δ2=（1+G2G3H2）。则由梅逊公式可得系统传递函数：112212314232112321231412342()1()()(1)1CsPPRsGGGGGGGHG