2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：1-2-0-1 任意角的三角函数的定义

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修4第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章三角函数第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章1.2任意角的三角函数第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章第1课时任意角的三角函数的定义第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4温故知新1．初中我们已经学习过锐角三角函数，它们都是以锐角为自变量的，请填好下表：第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4图形定义定义域三角函数值的正负sinA＝____；cosA＝____；tanA＝abA∈____sinA0，cosA0tanA____0[答案]acbc0，π2第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．下列题目你会做吗？(1)地球的赤道半径约为6370千米，那么赤道上1°的圆心角所对的弧长为________，1弧度的圆心角所对的弧长为__．(2)若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系为__．[答案](1)637π18千米6370千米(2)α＋β＝2kπ，k∈Z第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修43．已知角α＝2rad，则角α的终边在第________象限．[答案]二[解析]由2×57.3°＝114.6°知在第二象限．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修44．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为____．[答案]{α|2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z}第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4新课引入第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4春暖花开，“野芳发而幽香”，夏阳似火，“佳木秀而繁荫”，草枯草绿几度秋，冬去春来又一年，以季节为x轴，以寒热为y轴，冷冷暖暖，一年一次循环，一年一个周期．三个函数值中是否也有这样“周而复始”的变化规律呢？第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4自主预习认真阅读教材P11－14，回答下列问题：1．任意角的三角函数(1)单位圆：在直角坐标系中，称以为圆心，以为半径的圆为单位圆．原点单位长度第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(2)锐角的三角函数：如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝a，AB＝b，OB＝r，设∠BOA＝α，则有：第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4α的三角函数定义正弦sinα＝ABOB＝余弦cosα＝OAOB＝正切tanα＝ABOA＝brarba第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(3)任意角的正弦、余弦、正切：如图所示，α是任意角，以α的顶点O坐标原点，以α的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．设P(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则有：第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4α的三角函数定义记法形式正弦sinαsinα＝y余弦cosαcosα＝x正切(x≠0)tanαtanα＝yx(x≠0)yxyx第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(4)定义：当a＝(k∈Z)时，tanα无意义．除此之外，对于每一个确定的α，都分别有确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为，分别记作y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx.π2＋kπ唯一自变量三角函数第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[破疑点]由于角的集合与实数集之间建立了一一对应关系，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数，即实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)，其关系如下图所示：第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(5)定义域：如表所示，三角函数解析式定义域正弦函数y＝sinxR余弦函数y＝cosxR正切函数y＝tanx{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4有下列命题，其中正确的个数是()①终边相同的角的三角函数值相同；②同名三角函数值相同，角不一定相同；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；④不相等的角，同名三角函数也不相同．A．0B．1C．2D．3[答案]B第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]终边相同的角的同名三角函数值相同；同名三角函数值相同，角不一定相同；终边不相同，它们的同名三角函数值也可能相同；不相等的角，同名三角函数值可能相同．故只有②正确．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4若角α的终边与单位圆相交于点(22，－22)，则sinα的值为()A.22B．－22C.12D．－1[答案]B第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]x＝22，y＝－22，则sinα＝y＝－22.第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．三角函数值的符号sinα，cosα，tanα在各个象限的符号如下：第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[小结]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有()A．m0B．m＝0C．m0D．m的符号不确定[答案]A第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修43．公式一(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝，cos(α＋2kπ)＝，tan(α＋2kπ)＝.sinαcosαtanα第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[小结]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知sin5.1°＝m，则sin365.1°＝()A．1＋mB．－mC．mD．与m无关[答案]C第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知α与β的终边相同，则下列正确的是()A．sinα＝－sinβB．cosα＝cosβC．tanαtanβ＝0D．tanα＝－tanβ[答案]B第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课堂典例讲练第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4思路方法技巧命题方向1三角函数的定义1.利用定义求任意角的三角函数值已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[分析]注意终边落在直线y＝2x上的角有两类，分两种情况进行讨论．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sinα＝25＝255，cosα＝15＝55，tanα＝21＝2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝－12＋－22＝5，得：sinα＝－25＝－255，cosα＝－15＝－55，tanα＝－2－1＝2.第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4规律总结：(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝ba2＋b2，余弦值cosα＝aa2＋b2，正切值tanα＝ab.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－22，求cosα和tanα的值．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]设点M的坐标为(x1，y1)．由题意可知，sinα＝－22，即y1＝－22.∵点M在圆x2＋y2＝1上，∴x21＋y21＝1，即x21＋(－22)2＝1，第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4解得x1＝22，或x1＝－22.∴cosα＝22，tanα＝－1或cosα＝－22，tanα＝1.第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．三角函数的符号确定下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)sin7π8·tan7π8；(3)cos6·tan6.[分析]先确定角所在象限，进而确定各式的符号．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析](1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，∴sin105°0，cos230°0.于是sin105°·cos230°0.(2)∵π27π8π，∴7π8是第二象限角，则sin7π80，tan7π80.∴sin7π8·tan7π80.第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(3)∵3π262π，∴6是第四象限角．∴cos60，tan60，则cos6·tan60.第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4规律总结：(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(1)判断下列各式的符号．①sin3·cos4·tan5；②α是第二象限角，sinα·cosα.(2)若cosθ0且sinθ0，则θ2是第()象限角．A．一B．三C．一或三D．任意象限角第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[答案](1)①sin3cos4tan50②sinα·cosα0(2)C[解析](1)解：①π23π，π43π2，3π252π，∴sin30，cos40，tan50，∴sin3cos4tan50.②∵α是第二象限角，∴sinα0，cosα0，∴sinαcosα0.第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4规律总结：已知α的大小，判断sinα、cosα、tanα的符号的步骤：①确定α所在象限；②由α所在象限确定sinα、cosα、tanα的符号．第一章1.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·