2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件：2-1-2 椭圆的简单几何性质

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-1第二章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订第二章圆锥曲线与方程第二章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订2．1椭圆第二章第二章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订第二章第2课时椭圆的简单几何性质第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订学习要点点拨课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业课堂巩固练习第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订课程目标解读第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订1．掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中a，b，c，e的几何意义及其相互关系．2．能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质体会代数方法研究曲线的几何性质，如：对称中心，对称轴，范围等．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订重点难点展示第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．本节难点：椭圆的几何性质的实际应用．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订学习要点点拨第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．2．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，通过数形结合的方式探究掌握椭圆的几何性质．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订3．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的思想方法．4．涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订5．离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca则0e1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订课前自主预习第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订1．观察椭圆的图形可以发现，椭圆是中心对称图形，也是轴对称图形．事实上，在椭圆方程x2a2＋y2b2＝1中以________分别代替_______，方程不变，∴椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)既关于_____对称，又关于______对称，从而关于_________对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的________．－x、－yx、yx轴y轴坐标原点中心第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订2．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与它的对称轴共有四个交点，即A1、A2和B1、B2，这四个点叫做椭圆的_____，线段A1A2叫做椭圆的_____，它的长等于____；线段B1B2叫做椭圆的_____，它的长等于___.显然，椭圆的两个焦点在它的_____上．顶点长轴2a短轴2b长轴第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订3．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的_________．4．依据椭圆的几何性质填写下表：标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2b2＋y2a2＝1(ab0)图形离心率第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订焦点____________________________________焦距|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)范围__________________________对称性关于__________________对称顶点_____________________________轴长轴长__，短轴长___性质离心率e＝ca(0e1)F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤ax轴、y轴和原点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)2a2b第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订5.求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]将9x2＋y2＝81化为标准方程x232＋y292＝1，∴椭圆长轴在y轴上，其中a＝9，b＝3，c＝62，∴长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为F1(0，－62)、F2(0,62)，顶点坐标为A1(－3,0)、A2(3,0)、B1(0，－9)、B2(0,9)．离心率为e＝ca＝223.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订课堂典例讲练第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订思路方法技巧[例1]求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质．命题方向椭圆的主要几何量第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]把已知方程化成标准方程x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca＝74，两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[点评]解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]将方程变形为y225＋x216＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3，故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a＝10,2b＝8，离心率e＝ca＝35，焦点坐标F1(0，－3)，F2(0,3)，顶点坐标为A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－4，0)，B2(4,0).第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订命题方向利用椭圆的几何性质求标准方程[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[分析]1.求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定a，b，c.2．(1)中由离心率e＝ca，及a2＝b2＋c2可知椭圆的标准方程中只有一个待定系数，再由过点(3,0)可求之．(2)设短轴端点为A，F为一个焦点，由条件知△OAF为等腰直角三角形，于是a、b、c可求之．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.综上可知椭圆方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订(2)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[点评]已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式，(2)确立关于a、b、c的方程(组)，求出参数a、b、c，(3)写出标准方程．第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．[答案]x236＋y29＝1第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]依题意设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12⇒a＝6.∵椭圆的离心率为32，∴a2－b2a＝32，∴36－b26＝32，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订命题方向求椭圆的离心率[例3]A为y轴上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．建模应用引路第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]如图，连接BF2.∵△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点．∴F2B⊥BF1.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝c，|BF2|＝3c，由椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋3c＝2a，∴ca＝3－1.∴椭圆的离心率e＝3－1.第二章2.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[点评]椭圆的离心率是椭圆的长轴长和焦距的比值．由于a、b、c的关系，这个比值可以通过三个量中的任意两个量来刻画．在解决问题的过程中我们更多地用a、c描述，因此，求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：(1)若已知a、c可直接代入e＝ca求得；(2)若已知a、b则使用e＝1－b2a2求解；(3)若已知b、c，则求a，再利用(1)或(2)