垂直平分线的性质

§16.2线段的垂直平分线什么叫线段的垂直平线？•线段垂直平分线的定义:•经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。垂直平分线，简称“中垂线”。ABCDo∟∵CD是AB的垂直平分线（中垂线）∴OA=OB；CD⊥AB怎样作出线段的垂直平分线？（1）折纸法（2）过中点画垂线法（3）尺规作法作法：1、分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点E、F。2、过点E、F作直线。则直线EF就是线段AB的垂直平分线（图16-11）－１２ABEF图16-111、为什么以“大于1/2AB长”为半径？２、为什么这样作出的直线EF就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交AB于点O，请你根据三角形全等的判定定理给出证明O∟ABPA=PBP1P1A=P1B……命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PMNC画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？归纳：由此你能得到什么规律？操作命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。ABPMNCPA=PB直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=CB.已知：如图，点P在MN上.求证：证明：∵MN⊥AB垂足为C∴∠PCA=∠PCB在ΔPAC和ΔPBC中，AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC∴PA=PB线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。符号语言,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).ABPMN文字语言：C∟例题、如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，1)若BD＝10，则AD=。2)若∠A＝50°，则∠ABD＝。3)若AC＝14，△BCD的周长为24，则BC=。学以致用高速公路AB在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?L实际问题1实战演练1、如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10cm，则BD=__________cm；若PA=10cm，则PB=__________cm.1题图2、如图，在△ABC中，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A、1组B、2组C、3组D、4组123、已知，如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上。（1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是__________；（2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是___________。•如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.•变式1：如图1，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=？BCAED图1作业：已知：在ΔABC中，ON是AB的垂直平分线OA=OC。求证：点O在BC的垂直平分线上。例题扩展ABCON证明：连结OB。∵ON是AB的垂直平分线（已知）∴OA=OB（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）∵OA=OC（已知）∴OB=OC（等量代换）∴点O在BC的垂直平分线上。（到线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）线段的垂直平分线已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：点P在AC的垂直平分线上;BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上分析：∵PA=PC∴点P在AC的垂直平分线上例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90度，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B的度数。AEDBC已知:如图,在等腰三角形ABC中,腰AB的垂直平线MN交AC于点D,BC=8厘米,ΔBDC的周长20厘米.求:AB的长.ABCDMN已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.求证:点C在AD的垂直平分线上.ABCD8已知：如图，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长。做一做EDCBA解:∵DE是AB的垂直平分线∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）∵△BCE周长=CE+EB+BC又∵AC=CE+EA=CE+EB∴BC=△BCE周长-(CE+EB)=△BCE周长-AC=10cm解:做一做已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB长为15cm，求△PCD的周长。FENMODCBPA∵OM⊥PA于E，EA=EP，点C在OM上，∴CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）同理，∵ON⊥PB于F，FB=FP，点D在ON上，∴DB=DP∵△PCD周长=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB又∵AB=15cm∴△PCD周长=15cm二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等三、线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合