2 炸药爆炸的理论基础3

2.4.5平面正冲击波冲击波可以用多种方法产生。炸药爆炸时，高温、高压、高密度的爆炸气体产物高速膨胀，冲击压缩周围介质（包括金属、岩石、及水等凝聚介质及各种气体等），从而在其中形成冲击波的传播；飞行器（如航天器及导弹等）在做超声速飞行时，会在空气中形成空气冲击波；高速穿甲弹撞击装甲钢板、流星冲击地面等都可以在受冲击介质中形成冲击波。在介绍冲击波的形成例子中，如活塞的推动速度为50m/s时，形成的冲击波阵面上的压力约为0.125MPa；当活塞的速度为275m/s时，形成的冲击波阵面上的压力约为0.29MPa；如果活塞的速度达到700m/s（即大约是声速的2.1倍）时，最终所形成的冲击波阵面上的压力将会达到0.909MPa。然而，一个飞行器在大气中飞行，若要在其前方形成冲击波，则其飞行速度必须超过空气的声速，因为飞行器飞行时，在其前面形成的压缩扰动波以大气的声速传播。而同时，侧部稀疏波以声速侵入飞行器前面瞬时形成的压缩层内。这样，若飞行器做亚音速飞行，则在前面形成的压缩区就不会发生能量的积聚，即压缩扰动不能发生叠加，因而也就不能形成冲击波。而当飞行器做超音速飞行时，由于飞行速度大于声速，周围传来的稀疏波尚未来得及将前面形成的压缩层稀疏掉，飞行器又进一步地向前冲击压缩，因而就可使飞行器前面发生能量积聚，即造成压缩波的叠加，从而形成冲击波的传播。冲击波通过波阵面前后，介质的各个状态参数都是突跃变化的，并且由于波速很快，可以认为波的传播是绝热的过程。这样便可以利用质量守衡、动量守衡、能量守衡三大定律，进而把波阵面通过前、后介质的状态参量联系起来，得到冲击波的基本关系式，为研究爆轰波奠定基础。2.4.5.1平面正冲击波的基本关系式描述波阵面通过前介质的状态参量与通过后介质突跃到的终态参量之间的关系式称为冲击波的基本关系式。假设在一单位面积的长管中，有一平面正冲击波（波阵面为平面，且该平面与未扰动介质的流动方向垂直）以速度D稳定地自左向右传播，波阵面为A-A，其前方未扰动介质的状态参数为P0、ρ0、u0、T0、e0，波阵面后已扰动介质的状态参数为P1、ρ1、u1、T1、e1（如图2-12所示）。现取一坐标置于波阵面上，以速度D与冲击波一起向右运动。这样，在此动坐标系上可以看到，波阵面前方未扰动介质以速度（D-u0）向左流入波阵面，然后，以速度（D-u1）向后流出。根据质量守恒定律，单位时间内流入波阵面的介质质量等于从波阵面流出的介质的质量，这样才能保持定常流动，使冲击波得以稳定传播。由此可得到冲击波的质量方程：图2-12平面冲击波间断面1100uDuD（2-25）该方程也称为连续方程。若冲击波在静止介质中传播（u0=0），则有：110uDD（2-26）或Du1011（2-27）D-u0D-u1DAAP00ρe00uT01Tu11eρ11P图2-12从式（2-27）可以看出，由于是压缩波，10，且0D，因此，有10u，即冲击波（波阵面）通过后，扰动后介质的质点运动速度是正值，与冲击波的传播方向一致。根据动量守恒定律，冲击波在传播过程中，单位时间内作用于介质的冲量等于介质动量的变化。单位时间内作用于介质的冲量为：0101011PPPPtPP介质的动量变化为：0100uuuD或0111uuuD所以，有010001uuuDPP（2-28）式（2-28）即为冲击波的动量方程或运动方程。当冲击波在静止介质中传播时（u0=0），上式可简化为：1001DuPP（2-29）由于冲击波的传播过程可以认为是绝热过程，这样根据能量守恒定律，单位时间内从波阵面右侧流入的能量应与从波阵面左侧流出的能量相等。单位时间内从波阵面右侧流入的能量包括：介质的内能000euD、介质的压力位能0000uDPVP和介质的流动动能200021uDuD。同样，单位时间内从波阵面左侧流出的能量包括：介质的内能111euD、介质的压力位能1111uDVP和介质的流动动能211121uDuD。则冲击波的能量守衡方程为：00001120210121uDuPuPuuee（2-30）若冲击波在静止介质中（u0=0）传播，则上式变为：DuPuee011210121（2-31）式（2-25）、（2-28）、（2-30）就是冲击波的基本关系式，而式（2-26）或（2-27）、（2-29）、（2-31）是与u0=0条件相对应的基本关系式。描述冲击波的基本关系式均为代数式。这是因为冲击波传播引起的介质状态参数的变化是突跃式的，波阵面前后介质状态参数的差值不是一个微分量，而是有限量。用比容v代替密度（即v1）对冲击波基本关系式进行变换，式（2-25）变为：1100vuDvuD或001011uDvvuu进而可以得到：100100vvuuvuD（2-32）当u0=0时，有Dvvu0111（2-33）动量方程式（2-28）可变换为：000101vuDuuPP（2-34）由式（2-32）和式（2-34）可以得到：10010101vvuuuuPP则有100101vvPPuu（2-35）或10011001vvPPvvuu（2-36）式（2-35）、（2-36）为冲击波过后，质点运动速度u1与波阵面上的压力P1和比容v1之间关系的不同表达式。通过变换，还可以得到冲击波速度的表达式：100100vvPPvuD（2-37）上式也称之为黎曼方程（Riemann），其物理意义更加清楚，并将冲击波波速D和波阵面上的质点速度、波阵面上的压力P1和比容v1联系起来。式（2-28）可变换为010100uuPPuD，代入式（2-30）可以得到：10010121vvPPee（2-38）上式体现了冲击波阵面通过前后介质内能的变化（e1-e0）与波阵面上的P1、v1的关系，称为冲击波的冲击绝热方程或R-H方程（Rankine-Hugoniot方程）。当00u时，0P、0e比波阵面上的1P、1e小得多，可以忽略，故冲击波的基本方程可简化为：1011vvPu（2-39）1010vvPvD（2-40）101121vvPe（2-41）在推导冲击波的基本方程时，只是基于三大守恒定律，而根本未涉及到冲击波所通过介质的性质。因此，上述冲击波的基本方程适用于任意介质中冲击波参数的计算。当应用于具体介质中传播的冲击波时，还需要考虑介质的状态方程。介质的状态方程可表示为：TvPP，或TP，（2-42）由于式（2-39）~式（2-42）中有五个未知数P1、v1(1)、u1、D、T1，内能可以用1111111,,TveTee来表示。如果已知其中的某个参数，其它参数便可利用上述的四个关系式联立求解。2.4.5.2多方气体中平面正冲击波通常情况下，多方气体平面正冲击波的基本方程满足式(2-36)、(2-37)、(2-38)及理想气体状态方程：RTPv（2-43）对于理想气体，内能只是温度的函数，其内能可表示为：TCev（2-44）由于RCCvP、VPCCK（绝热指数），利用式(2-43)可以得到：1KPve（2-45）将式（2-45）代入式（2-38），则可以得到绝热方程：10010001112111vvPPKvPKvP（2-46）对中等强度以下的空气冲击波，可近似取KKK01。则有100100112111vvPPKvPKvP经过变换后可以得到：0110011111vKvKvKvKPP（2-47）或100101101111PKPKPKPKvv（2-48）以上两式具有同样意义，是多方气体冲击波的冲击绝热方程的两种形式。它们与波速方程（2-37）及质点速度公式（2-36）共同组成了求解冲击波阵面参数的封闭方程组。在进行具体计算求解时，还需要知道绝热指数K。在标准温度下，单原子气体35K；双原子气体4.157K；三原子气体25.1K。对于空气，在273~3000K的温度范围内，可用如下公式计算其平均定容比热容vC：TCv31045.078.4（2-49）当空气冲击波的压力不超过5MPa时，可近似取K=1.4这一常数值，计算结果的偏差不大。但对于很强的冲击波，K不能取常数1.4，因为，此时冲击波阵面上的气体受到强烈冲击压缩处于高温状态，必然引起气体的电离和离解。这种效应会引起气体组分的变化，从而会导致K值的改变。为计算方便和对冲击波性质的理解及分析，可以对冲击波的基本方程进行变换，把冲击波参数表示为未扰动介质声速0C的函数。冲击绝热方程式（2-47）和（2-48）可变换为：010100112PKPKPPvvv（2-50）01010011121PKPKvvvPP（2-51）由波速式（2-37）可以得到：20201001/vuDvvPP（2-52）将式（2-52）代入式（2-51）有：010201121PKKPvKuD（2-53）由质量方程（2-25）式知，210120uDuD。代入上式后得到：011211121PPKKvKuD（2-54）式（2-53）可以写成：020011112PKKuDKP（2-55）又质点速度公式（2-35）可改写为：010110120101001201112112PKPKPPvPKPKPPvvvPPuu（2-56）现在只推导含有速度参量的冲击波参数计算式。由声速公式可得到，KCPv2、KCP2，能量公式为1KPve。利用这些关系式，能量方程可改写为：3000020002031111211121211211uDKKuDCKuDCuDKKuDCKuDC将质量方程（2-25）式代入上式，则有202021211212CKuDCKuD上式两边同乘以11KK又可得到：2*2020212112111211CCKuDKKCKuDKK（2-57）其中，*C称为临界速度，它定义为相对速度1uD等于声速C时的速度。即*1CCuD由于PKC2，故式（2-57）的前两项可写为2*11211211CPKKuDKK或2*11121111CPPuDKK同理，式（2-57）的后两项可写为2*00020011CPPuDKK将上面两式相减，并考虑到12110200PuDPuD，则得到：2*0101CPP(2-58)或2*0101CPP(2-59)由于100100vvPPvuD10011001vvPPvvuu两式相减，有1001vvPPvuD该式与波速式相乘，则得到10011001vvPPvvuDuD(2-60)或010101PPuDuD(2-61)比较式（2-59）和式（2-61），可得到一个非常有用的公式：2*01CuDuD（2-62）这就是著名的普郎佗（Prandtl）关系式，它给出了冲击波的临界声速*C与冲击波相对于波阵面前后介质的流动速度之乘积的关系。如果相对速度0uD和1uD不为