梅涅劳斯定理和塞瓦定理.讲义学生版

12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理讲义·学生版Page1of9知识点A要求B要求Ｃ要求比例及定理熟知定理内容掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运用定理解决问题会运用定理及其推论的内容来解决相似的问题一、比例的基本性质1),acadbcbd这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;2)acbdbdac(反比定理);3)acabbdcd(或dcba)(更比定理);4)acabcdbdbd(合比定理);5)acabcdbdbd(分比定理);6)acabcdbdabcd(合分比定理);7)(0)acmacmabdnbdnbdnb(等比定理).二、平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理如下图，如果1l∥2l∥3l，则ABDEACDF，BCEFACDF，ABACDEDF.l3l2l1FEDCBA2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DEBC∥，则ADAEDEABACBC，反之如果有ADAEDEABACBC，那么DE∥BC知识点睛中考要求梅涅劳斯定理和塞瓦定理12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理讲义·学生版Page2of9ABCDEEDCBA三、梅涅劳斯定理梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理．梅涅劳斯定理：X、Y、Z分别是△ABC三边所在直线BC、CA、AB上的点．则X、Y、Z共线的充分必要条件是：1CXBZAYXBZAYC．根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X、Y、Z三点分别都在三角形三边的延长线上．ZYcabXCBAcabYZXACB证明：（1）必要性，即若X、Y、Z三点共线，则1CXBZAYXBZAYC．设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c．则CXcXBb，BZbZAa、AYaYCc，三式相乘即得1CXBZAYcbaXBZAYCbac（2）充分性，即若1CXBZAYXBZAYC，则X、Y、Z三点共线．设直线XZ交AC于Y，由已证必要性得：1CXBZAYXBZAYC又因为1CXBZAYXBZAYC，所以AYAYYCYC．因为Y和Y或同在AC线段上，或同在AC边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y和Y比重合为一点，也就是X、Y、Z三点共线．梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在CXXB、BZZA、AYYC三个比中，已知其中两个可以求得第三个．二是证明三点共线．四、塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理．塞瓦定理：从ABC△的每个顶点出发作一条塞瓦线AXBYCZ，，．则AXBYCZ，，共点的充分必要12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理讲义·学生版Page3of9条件是1BXCYAZXCYAZB．PC'B'ZYXCBA充分性命题：设ABC△的三条塞瓦线AXBYCZ，，共点，则必有1BXCYAZXCYAZB．必要性命题：设ABC△中，AXBYCZ，，是三条塞瓦线，如果1BXCYAZXCYAZB，则AXBYCZ，，三线共点．我们先证明充分性命题．如图，设AXBYCZ，，相交于P点，过A作BC边的平行线，分别交BYCZ，的延长线于BC，．由平行截割定理，得BXABCYBCAZACXCACYAABZBBC，，．上面三式两边分别相乘得：1BXCYAZXCYAZB我们再证明必要性命题．Z'ZYXPCBA假设AX与BY这两条塞瓦线相交于P点，连CP交AB于Z．则CZ也是一条过P点的ABC△的塞瓦线．根据已证充分性命题，可得1BXCYAZXCYAZB，由因为1BXCYAZXCYAZB，进而可得AZAZZBZB．所以AZAZABAB，因此AZAZ．所以Z与Z重合，从而CZ和CZ重合，于是得出AXBYCZ，，共点．塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用．第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题．第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式．利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式．一、梅涅劳斯定理【例1】已知△ABC中，D是BC的重点，经过D的直线交AB与E，交CA的延长线于F．求证：FAEAFCEB．例题精讲12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理讲义·学生版Page4of9EFBDCA【巩固】如图所示，△ABC中，∠ABC=90°，ACBC．AM为BC边上的中线，CDAM于D，CD的延长线交AB于E．求AEEB．DEBMCA【例2】如图所示，设D、E分别在△ABC的边AC、AB上，BD与CE交于F，AEEB，23ADDC．40ABCS△．求AEFDS．FDECBA【巩固】如图所示，△ABC内三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD的面积为x，求x的值．12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理讲义·学生版Page5of9x1085FDECBA【例3】在△ABC的三边BC、CA、AB上分别取点D、E、F．使12BDCEAFDCEAFB．若BE与CF，CF与AD，AD与BE的交点分别为1A、1B、1C求证：11117ABCABCSS△△．A1C1B1FECDBA【巩固】ABC△中，DE，分别是BC，CA上的点，且::1::1BDDCmCEEAn，．AD与BE交于F，问ABF△的面积与ABC△面积的比值是多少？GDEFCBA【例4】如图所示，△ABC的三条外角平分线BE、AD、CF，与对边所在直线交于E、D、F三点，12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理讲义·学生版Page6of9求证：D、E、F三点共线．FEDCBA【巩固】P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求证：DPQ，，三点共线．KQPHGFEDCBA二、塞瓦定理【例5】设AXBYCZ，，是ABC△的三条中线，求证：AXBYCZ，，共点．ZYXCBA【例6】若AXBYCZ，，分别为ABC△的三条内角平分线．求证：AXBYCZ，，共点．12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理讲义·学生版Page7of9ZYXCBA【例7】若AXBYCZ，，分别为锐角ABC△的三角高线，求证：AXBYCZ，，共点．ZYXCBA【例8】锐角三角形ABC△中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：EDHFDH．HABCDFE【巩固】如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理讲义·学生版Page8of9长DF交BC于G．求证：GACEAC．FGEDCBA1.如图所示，△ABC被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求△ABC的面积．354030OFECDBA2.如图，设M为ABC△内一点，BM与AC交于点E，CM与AM交于F，若AM通过BC的中点D，求证：EFBC∥．FDEMCBA3.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD和BC分别相交于LK，，对角线AC与BD交于M．直课后作业12.2.3梅涅劳斯定理和塞瓦定理讲义·学生版Page9of9线KL与BD，AC分别交于FG，．求证：KFKGLFLG．FGLKMDCBA