第7章 自由曲线和自由曲面

第7章自由曲线和自由曲面现代产品设计中，对于诸如飞机、汽车、船舶等具有复杂曲面外形的产品，需要使用自由曲线和自由曲面来描述其几何形状，以满足产品在流体动力性能和造型方面的要求。对一般工业和民用产品而言，由于市场竞争的加剧，在满足功能需要的前提下，以产品的造型为代表的非功能性因素，对消费者购买趋向的影响越来越大。因此，产品设计比以往更注重造型设计，也使自由曲线和自由曲面的应用领域更加广泛。曲线和曲面功能是目前大多数商用CAD系统（尤其是中、高端系统）的重要组成部分，是应用CAD技术进行产品造型设计的重要手段之一。对使用各种CAD系统的工程技术人员来说，了解和掌握有关自由曲线与自由曲面的基本知识，是熟练运用相关工具的基础和前提。７.1基本概念在自由曲线和曲面的构造中会涉及到曲线、曲面的数学表示以及相关基本术语，了解这些基本概念将有助于深入学习和理解自由曲线和曲面的构造原理与方法。7.1.1曲线和曲面的数学表示数学上通常用3种方式表示曲线和曲面：显式表示、隐式表示和参数表示。在对自由曲线和自由曲面的描述中主要采用参数表示。例如，自由曲线的参数表示形式为：)()()(tzztyytxx(7.1)为便于计算机处理，曲线上一点常用其位置向量表示，如下所示：)()()()(tztytxtP(7.2)通常，通过对参数变量的规格化，使参数t在闭区间[0，1]内变化（写成10t），并对此区间内的参数曲线进行研究。用参数方程描述自由曲线具有以下优点：●所描述的曲线形状与坐标系的选取无关。例如，如果通过一系列型值点拟合一条曲线或由一系列控制点（或特征点）定义一条曲线，曲线的形状仅取决于这些点本身之间的关系，而与这些点所在的坐标系无关。●参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，并且不限制变量的个数，便于用户把低维空间中的曲线或曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得人们可以用数学公式去处理几何分量，如本章随后使用到的调和函数就具有此特点。●采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程序处理时不会因此中断计算。●规格化的参数变量10t，使其相应的几何分量是有界的（即表示曲线是有界的），不需要另设其他参数来定义其边界。●有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：332210xaxaxaay其中只有4个系数用来控制此曲线的形状。而该曲线的参数表示为：332210332210)()(tbtbtbbtytatataatx其中有8个系数可用来控制此曲线的形状。●易于用向量和矩阵表示几何分量，简化了计算。基于上述特点，在讨论曲线和曲面问题时通常采用参数表示。7.1.2基本术语学习曲线和曲面构造，首先应了解有关的一些基本术语的含义。1.点点是构造曲线和曲面的最基本的几何元素，在曲线和曲面构造中常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点，如6.1节所述。2.插值插值是函数逼近的重要方法。其原理是：设函数)(xf在区间[ba,]上有互异的n个型值点)(ixf（ni,,3,2,1），基于这个列表数据，寻求某个函数)(x去逼近)(xf，使)()(iixfx（ni,,3,2,1），则称)(x为)(xf的插值函数，ix为插值节点。可以看出，插值函数)(x在n个插值节点ix处与)(ixf相等，而在别处就用)(x近似地代替)(xf。插值要求严格通过预先给定的各个型值点。3.逼近在曲线和曲面造型中，当型值点太多时，构造插值函数使其通过所有型值点是很困难的。因此，人们采用了一种逼近的方法。所谓逼近是指寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型值点的最佳逼近。逼近的方法很多，最常用的是最小二乘法。4.光顺光顺的通俗含义是使所构造的曲线光滑和顺眼，即曲线上的拐点不能太多，因为曲线拐来拐去就会不顺眼。通常，对于平面曲线来说，其相对光顺的条件为：曲线具有二阶几何连续、不存在多余拐点和奇异点、曲率变化较小。所谓几何连续性是指曲线或曲面在连接处的连接状态。零阶连续指边界重合；一阶连续指一阶导数连续，即切线矢量连续；二阶连续指二阶导数连续，即曲率连续。5.拟合拟合没有完整的定义和数学表示，这点与插值、逼近和光顺不同。拟合是指在曲线和曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求，在允许的范围内通过或贴近给定的型值点或控制点序列，从而使构造的曲线或曲面光滑连续。７.2自由曲线在曲面造型系统中，曲线构造是曲面构造的基础，它构成了曲面的基本单元——曲面片的边界。工程上把形状比较复杂、不能用二次方程描述的曲线和曲面称为自由曲线和自由曲面。本节将介绍曲面造型中最常用的一些参数曲线。7.2.1Hermite曲线大多数CAD系统用三次参数曲线描述自由曲线，这是因为三次参数曲线已足以保证相连曲线的二阶连续。另外，由于高于三次的参数曲线的计算费时，且曲线上任何一点几何信息的变化都可能导致曲线形状发生复杂的变化，因此，工程上一般采用不高于三次的参数曲线。空间三次参数曲线方程的矢量形式为：332210)(ttttaaaaP10t(7.3)其中，0a、1a、2a、3a为参数方程的系数矢量，每个系数矢量均由x、y、z三个坐标方向上的分量组成，如),,(a0000zyxaaa。为了用三次参数曲线描述自由曲线段，必须根据给定条件求出式（7.3）中的各系数。Hermite曲线用给定曲线段的两个端点的位置矢量0P、1P，以及两端点处的切线矢量'P0和'P1来描述一条曲线。利用边界条件0P、1P、'P0和'P1，由式（7.3）可以得到：当0t时：1000)0()0(aPPaPP''当1t时：32113210132)1()1(aaaPPaaaaPP''则有：'''''PPPPaPPPPaPaPa1010310102010022233将上述关系代入式（7.3）则有：''''PPPPPPPPP101032323232132032132032223231)()2()23()231()(ttttttttttttttttttt(7.4)令：324323322321)(2)(23)(231)(tttFttttFtttFtttFhhhh(7.5)则式（7.4）可写为：''''PPPPPPPPP1010432114031201)()()()()()()()()(tFtFtFtFtFtFtFtFthhhhhhhh10t(7.6)其中，称)()()()()(4321tFtFtFtFthhhhhF为调和函数，其中的各分量)(1tFh、)(2tFh、)(3tFh和)(4tFh分别对0P、1P、'P0和'P1起作用，使其在整个参数域范围内产生曲线的值，从而构成Hermite曲线。可以看出，只要给出任意两个端点和这两个端点处的切线矢量，就可以用式（7.6）构造Hermite曲线。可以将式（7.6）改写成如下形式：''PPPPP10102300010100123311221)(tttt10t(7.7)则称由式（7.7）定义的曲线为Ferguson或Coons曲线。由式（7.7）可以给出参数曲线的代数形式，进而可以方便地得到曲线上任意一点的坐标值，即：''''''zzzzyyyyxxxxPPPPttttzPPPPttttyPPPPttttx10102310102310102300010100123311221)(00010100123311221)(00010100123311221)((7.8)Hermite曲线较为简单且易于理解，但需要使用者给出两端点处的切线矢量作为边界条件，这一点很不方便，有时甚至难以做到。在Hermite曲线的基础上又发展了应用广泛的三次参数样条曲线，即以给定曲线段两个端点的位置向量以及端点处的二阶导数表示的曲线段的三次参数方程。但是，三次参数样条曲线不能直观地表示应该如何修改，以及如何控制曲线的形状。因此，作为外形设计工具，三次参数样条曲线仍缺少灵活性和直观性。7.2.2Bezier曲线针对Hermite曲线和三次参数样条曲线存在的问题，法国雷诺汽车公司的工程师P.Bezier在20世纪60年代提出了一种在逼近的基础上构造曲线的方法——Bezier曲线，并在此基础上建立了一种自由曲线与曲面的设计系统——UNISURF。Bezier曲线的提出是计算机辅助几何设计发展中的一个里程碑式的标志，是现代曲面造型系统的基础。1.Bezier曲线的定义Bezier曲线由在曲线上的两个端点和若干个不在曲线上但能够决定曲线形状的点确定，是一种以逼近为基础的曲线。图7-1为一条三次Bezier曲线。1P0P3P2P图7-1三次Bezier曲线如图7-1所示，Bezier曲线由两个端点0P、3P和不在曲线上但能控制曲线形状的点1P、2P所组成的开口多边形定义，称该多边形为特征多边形，并称特征多边形上的各顶点为特征点或控制点。通常，n次Bezier曲线由1n个顶点构成的特征多边形确定。2.Bezier曲线的数学表达Bezier曲线的数学基础是在特征多边形的第一和最后一个端点之间进行插值的多项式调和函数。设由1n个顶点定义了一个n次多项式，这1n个顶点所定义的Bezier曲线的参数方程为：niniitBt0)()(,PP10t(7.9)其中，iP（ni,,2,1,0）为特征多边形1n个顶点的位置矢量；)(,tBni为Bernstein基函数，也是曲线上各点位置矢量的调和函数，其数学表达式为：ininittinintB)1()!(!!)(,，10t(7.10)注意，当0i，0t或ni，1t时，100，1!0。此时，Bezier曲线的代数形式为：niniininiininiitBztztBytytBxtx000)()()()()()(,,,10t(7.11)由式（7.9）和（7.10）可推出一次、二次及三次Bezier曲线的数学表示。●一次Bezier曲线对于一次Bezier曲线，1n，且有两个控制点0P、1P，则：10101)1()(PP)(PP,tttBtiii10t(7.12)其矩阵表示为：1001111)(PPPtt10t(7.13)显然，一次Bezier曲线几何意义为连接起点0P和终点1P的直线段。●二次Bezier曲线对于二次Bezier曲线，2n，且有3个控制点0P、1P、2P，则：001201222102202)(2)2()1(2)1()()(PPPPPPPPPPP,tttttttBtiii10t(7.14)其几何意义为，二次Bezier曲线为一条抛物线。该曲线的矩阵形式为：21020010221211)(PPPPttt10t(7.15)●三次Bezier曲线对于三次Bezier曲线，3n，有4个控制点0P、1P、2P、3P，则：333232131030303)()()()()()(PPPPPP,,,,,tBtBtBtBtBtiii10t(7.16)其中：33,323,223,133,0)()1(3)()1(3)()1()(ttBtttBtttBttB10t(