15.4.1提公因式法

问题1：10032－10022=？(1003+1002)(1003-1002)=2005问题2：60能被哪些正整数整除？你是怎样思考的。60＝22×3×5类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式。问题3：你能把下列多项式写成整式的乘积的形式吗？(1)x2+x=;(2)x2-1=.x(x+1)=x2+x(x+1)(x-1)=x2-1(x+1)(x-1)x(x+1)把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫做分解因式。因式分解与整式乘法是相反方向的变形。x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法温馨提示判断是否是因式分解要看等式的左边是否是一个多项式，右边是否是几个整式的积的形式。试一试：下列由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，哪些不是？（1）(x+2)(x-2）=x2-4（）（2）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1（）（3）ax2+ay2=a(x2+y2)（）（4）(2x－1)2=4x2－4x+1；（5）a2+a－2=a(a+1-)；（6）4x2－1－4xy+y2=(2x+1)(2x-1)－y(4x－y)；a2多项式ma+mb+mc各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式。公因式：多项式中的每一项都含有的公共的因式，叫做这个多项式的公因式。由m(a+b+c)=ma+mb+mc得=(a+b+c)ma+mb+mcm提取多项式各项公因式的因式分解方法叫做提公因式法。公因式m既可表示单项式，也可表示多项式。例：找出多项式8a3b2+12ab3c中的公因式公因式：多项式中的每一项都含有的相同的因式，我们称之为公因式。解：8a3b2=2•4•a•a•a•b•b12ab3c=3•4•a•b•b•b•c小结公因式：各项系数的最大公约数与所含相同字母的最低次幂的积。所以应提取的公因式是4ab2找出下列式子中的公因式：(1)4a3，8a2b2，-30a2bc(2)2x3y4，-10x2y3，2x2y2(3)4x(y-x)2，6x(x-y)2(4)3a(x-y)，9b(y-x)(5)a2bn,2abn+2试一试（2a2b）（2x2y2）（2x(x-y)2）（3(x-y)）（abn）因为多项式8a3b2+12ab3c的公因式是4ab2想一想另一个因式2a2+3bc是如何得到的？提公因式法例1：分解因式8a3b2+12ab3c提公因式法的一般步骤：1、确定应提取的公因式；2、用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；3、把多项式写成两个因式的积的形式。所以8a3b2+12ab3c＝4ab2(2a2+3bc)例题解析例1、用提公因式法分解因式：(2)-2x3+6x2-2x(3)3an+2+2an+1-7an友情提示：（1）如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在提取了公因式后，应该用“1”顶替它原来的位置，切不可把“1”漏掉。（2）如果多项式的第一项有“—”号，一般都将“—”号随公因式一起提出。1、把下列多项式因式分解：(1)4ab-2a2b;(2)-3ab+6abx-9aby(3)-24m2x+16n2x;(4)anb2-2anb.2ab(2-a)-3ab(1-2x+3y)-8x(3m2-2n2)anb(b-2)2、把下列多项式分解因式：（1）12x2y+18xy2；（2）-x2+xy-xz；（3）2x3+6x2+2x现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：聪明的同学你认为他们的解法正确吗？试说明理由。甲同学：解:12x2y+18xy2=3xy(4x+6y)乙同学：解:-x2+xy-xz=-x(x+y-z)丙同学：解:2x3+6x2+2x=2x(x2+3x)例2把下列各式分解因式(1)2a(b+c)－3(b+c)(2)2a(b－c)－3(c－b)(3)6a(b－c)2－3(c－b)3(4)(2x+3y)(3x－2y)－5x(2x+3y)1、把下列各式分解因式(1)2a(y－x)－3b(x－y)(2)p(a2+b2)－q(a2+b2)(3)2(a－3)2－a+3整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法2、用简便方法计算：想一想(1)已知x+y=2，xy=-3，则x2y+xy2=_____.(2)(-2)2005+(-2)2006=______.(3)你知道523-521能被120整除吗？试说明你的理由。-62200522003992711（）171717113.719.82.5313131（）小结：今天我们学习了提取公因式法分解因式，可以用四句顺口溜来总结记忆用提取公因式法分解因式的技巧：各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，母项提出莫漏1，括号里面分到“底”。让我们一起总结一下用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心别漏掉“1“；（3）多项式的首项取正号；（4）公因式是多项式时，要注意符号问题。各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，母项提出莫漏1，括号里面分到“底”。用四句顺口溜来总结记忆用提取公因式法分解因式的技巧：再见！隧道的横截面如图，用关于h、r的多项式表示隧道横截面的面积。这个多项式能分解因式吗？若r=7米，h=2∏米，计算这个隧道的横截面面积。应用于生活rh4)牛牛在做一道分解因式时得出了这样一个错误的答案3a(2ab+5b2)，经检查发现，括号里的多项式中漏掉了“-1”这一项，你知道原多项式是____________.6a2b+15ab2-3a游戏现有两种边长分别为a、b的正方形和长、宽分别为a、b的一种矩形，你能从其中选择若干图形拼接成一个矩形图案，再从所拼接的图案中找出一个等式吗？abbabaaa(a+b)=a2+aba2+2ab+b2=(a+b)22ab+2b2=2b(a+b)(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b22a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。2、因式分解与整式乘法的关系◆因式分解的特点：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；◆整式乘法的特点：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。