必修五1.1.2余弦定理(强烈推荐,公开课)

千岛湖120°情景问题岛屿B岛屿A岛屿C?千岛湖千岛湖情景问题120°岛屿B岛屿A岛屿C?120°ABC在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求AC用正弦定理能否直接求出AC？ABC因为某种实际需要，需测量左图中A、B两点间的距离，如何测量？800实际测量中，测量人员在如图所示位置取点C，用皮尺测得AC=8米，BC=5米，∠ACB=问：怎么样算AB的长度？复习回顾：1.正弦定理的内容在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。CcBbAaABCsinsinsin中，即在2.用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？（1）已知三角形的两角和一边（2）已知两边和其中一边的对角。若已知三角形的三边，或者是两边及其夹角，能否用正弦定理来解三角形呢？R2新课讲授：?,,.cCABC如何求边中在三角形901ABCcba222bac勾股定理：呢？来求如何由边中在非直角三角形cbaABC,,.2新课讲授：.,,cbaCABC求边及边中，已知角在三角形222BDADcABD有中在直角三角形,CbaCDaBDCbADcossin而222)cos()sin(CbaCbcCabCbaCbcoscossin222222ABCabcDDBCBCADA于交作过点,Cabbacos222BaccabAbccbacoscos22222222我们已经学过向量,下面试着用向量的方法给予证明新课讲授：ABCabcCBACAB22CBACABCBACCBAC222CCBACCBACcos222)cos(CCBACCBAC222CCBACCBACcos222Cabbaccos2222即余弦定理你能用文字说明吗？CBAabc三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC想一想：余弦定理能够解决什么问题？a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC方程思想：四个量，知三求一1.已知两边b,c和它们的夹角A求另一边a（直接用）；2.已知三边求角（变形）.变形变一变乐在其中b2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=CBAabc利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角。一、已知三角形的两边及夹角求解三角形的值和边、求角中，已知、在例aCBAcb,30,32,3ABC1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb330cos323232322CABabc60,Bcb90180CBA________,60,1,31aAcb则、若_____AC,43cos1BC2ABABC2则，，中，、在C72变式：CBAbac3.,,,解三角形中，在12011CbaABC33120112112222222ccCabbaccoscos解：301203018018030150302131201CABAACacAcCaACcAa因此，所以但是由于或又,,sinsinsinsinsin例2、在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形(依次求解A、B、C).解：由余弦定理得22222223161222231()()cos()bcaAbc60A45B180180604575CAB631二、已知三角函数的三边解三角形22)13(622)13()6(2cos222222acbcaB__________,2,1,3.1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60.________,.2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形60变式：A60212cos2cos222222CababCabbcaabcbaC解析：CBAbac三.判断三角形的形状由推论我们能判断三角形的角的情况吗?bcacbA2cos222推论：CBAbac提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形0222acb△ABC是锐角三角形0222acb△ABC是直角三角形0222acb（1）若A为直角，则a²=b²+c²（2）若A为锐角，则a²b²+c²（3）若A为钝角，则a²b²+c²由a2=b2+c2－2bccosA可得AaBCbcAcb例3、在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）222cbaＡ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定那呢?222cba例.,,,,三角形的形状试判断这个中在721cbaABC18090C0Ccos222cba结论：中，在ABC2220900acbAAcos222090acbAAcos222018090acbAAcos一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（）A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6练习：1、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断△ABC的形状.ADCB)4502、如图所示，已知BD=3，DC=5，∠B=300，∠ADC=450，求AC的长。120°ABC在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求AC解决实际问题解：由余弦定理得答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24km.BBCABBCABACcos222296.67120cos4.3624.3622o24.8AC巩固提高.,cos,,,.的余弦值求最大角已知中在1413873CbaABC.,::::,.的最大内角求这个三角形已知中在7532cbaABC32332631222或为（）则角已知中在....,,.DCBAAbccbaABC为（）则且若中在ABCbaccbaABC,,,.2224巩固提高不存在钝角三角形锐角三角形直角三角形....DCBA取值范围是的则边长分别为已知一个锐角三角形的xx,,,.325则三角形的三边长为等于且最大角的正弦值中在,,,,23226cbbaABC课堂小结1.余弦定理及变形CabbacBaccabAbccbacoscoscos222222222222abcbaCacbcaBbcacbA222222222222coscoscos2.余弦定理可解决的问题（1）已知三边，求三个角（2）已知两边和它们的夹角，求第三边中，在ABC2220900acbAAcos222090acbAAcos222018090acbAAcos3.余弦定理得出的推论练一练：会用才是硬道理例1、在△ABC中，已知a=1,c=2，B=150。，求b.变式1、已知△ABC的三边为、2、1，求它的最大内角.7变式2、在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状222b(,)90180acB思考：已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断△ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角形？归纳：设a是最长边,则△ABC是直角三角形=a2=b2+c2△ABC是锐角三角形=a2b2+c2△ABC是钝角三角形=a2b2+c2例2在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=,求最大角的余弦值.分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角.由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角.2222cosabCbca221314278987，解：3.c则b是最大边，那么B是最大角.222222.73822371cos7acbacB1314例3在△ABC中，已知BC=a,AC=b,cosC=-0.5,(1)求角C的度数（2）求AB的长变式：△ABC中，B=60°，b2=ac,求角A练：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长A、1，2，3B、2，3，4C、3，4，5D、4，5，6分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。B中：，所以C是钝角.222013244223cosCD中：，所以C是锐角.因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形.22215648245cosC解：A、C显然不满足.例3：在△ABC中，已知a=2,b=，解三角形。231c例3：在△ABC中，已知a=2,b=，解三角形。231c例3：在△ABC中，已知a=2,b=，解三角形。231c解：由例2可知A=45°由正弦定理得思考在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理正弦定理㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取1.在△ABC中，已知a=7,b=5,c=3，求A。2.在△ABC中，已知,,B=45°，求b和A。23a62c3.在△ABC中，已知,,A=45°，求边长c，角B，角C。2a2b例.已知b=8,c=3,A=600求a.∵a2=b2+c2－2bccosA=64+9－2×8×3cos600=494.定理的应用解：a=7变式练习：1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断此三角形的形状.等腰三角形的底边长为a，腰长为2a,求腰上的中线长。（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则sinA+sinB____sinC.)(sin3sin,2)3(等于则中，在BBBCABCA.b/aB.a/bC.a/cD.c/a（1）若三角形的三个角的比是1：2：3，最大的边是20，则最小的边是_____.二.三种证明方法的比较：几何法：通过作高，把一般三角形转化为直角三角形求证（化一般为特殊）解析法：通过建立直角坐标系，把几何问题用代数的方法解决（几何问题代数化）向量法：通过向量的知识来证明。一、余弦定理：（1）余弦定理适用于任何三角形；（3）由余弦定理可知：22290Aacb；22290Aacb；.22290Aacb（2）余弦定理的作用：a、已知三边，求三个角；b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角；c、判断三角形的形状；四类解三角形问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（4）已知三边，求三个角。