30正态总体均值与方差的区间估计

数理统计第四节正态总体均值与方差的区间估计单个总体的情况两个总体的情况课堂练习小结布置作业2(,)Nμσ211(,),Nμσ222(,)Nμσ数理统计一、单个总体的情况2(,)Nμσ2(,),XNμσ并设为来自总体的1,,nXX样本,2,XS分别为样本均值和样本方差.均值的置信区间μ1.12σ为已知(0,1)XμNσn可得到的置信水平为的置信区间为1α22(,)αασσXuXunn2()ασXun或数理统计22σ为未知(1)XμtnSn可得到的置信水平为的置信区间为1α此分布不依赖于任何未知参数2{||(1)}1αXμPtnαSn由22((1),(1))ααSSXtnXtnnn2((1))αSXtnn或数理统计例1有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值的置信水平0.95为的置信区间.μ解这里10.95,20.025,115,ααn0.025(15)2.1315.t1611503.75,16iixx16211()6.2022.15iisxx数理统计2((1))αsxtnn于是得到的置信水平为的置信区间为0.95即(500.4,507.1)数理统计方差的置信区间2σ2.222(1)(1)nSχnσ2221222(1){(1)(1)}1ααnSPχnχnασ由可得到的置信水平为的置信区间为1α2222212(1)(1)(,)(1)(1)ααnSnSχnχn2σ数理统计22122(1){(1)(1)}1ααnSPχnχnασ由可得到标准差的置信水平为的置信区间为1ασ2221211(,)(1)(1)ααnSnSχnχn数理统计例2有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差的置信水平0.95为的置信区间.σ解这里20.025,120.975,115,ααn20.025(15)27.488,χ20.975(15)6.262.χ16211()6.2022.15iisxx数理统计于是得到的置信水平为的置信区间为0.952221211(,)(1)(1)ααnSnSχnχnσ即(4.58,9.60).数理统计二、两个总体的情况211(,),Nμσ222(,)Nμσ设已给定置信水平为,并设1α112,,nXXX是来自第一个总体的样本,212,,nYYY是来自第二个总体的样本,这两个样本相互独立.且设分别,XY为第一、二个总体的样本均值,2212,SS为第一、二个总体的样本方差.两个总体均值差的置信区间12μμ1.12212,σσ为已知数理统计2111(,),σXNμn2222(,)σYNμn因为相互独立,,XY所以相互独立.,XY故22121212(,)σσXYNμμnn12221212()()(0,1)XYμμNσσnn或数理统计2212212()ασσXYunn于是得到的置信水平为的置信区间为1α12μμ222212,σσσ为已知2σ121212()()(2)11ωXYμμtnnSnn其中2,ωωSS222112212(1)(1).2ωnSnSSnn数理统计2121211((2))αωXYtnnSnn于是得到的置信水平为的置信区间为1α12μμ其中2,ωωSS222112212(1)(1).2ωnSnSSnn数理统计例3为比较I,Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取I型子弹10发,得到枪口速度的平均值为标准差随机地取Ⅱ型子弹20发,得到枪口速度的平均值为标准差假设两总体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认为方差相等.求两总体均值差的置信水平为0.95的置信区间.1500(),xms211.10(),sms2496(),xms221.20().sms12μμ数理统计解122121211((2))αωxxtnnsnn依题意,可认为分别来自两总体的样本是相互独立的.又因为由假设两总体的方差相等,但数值未知,故两总体均值差的置信水平为的置信区间为12μμ1α其中2,ωωss222112212(1)(1).2ωnsnssnn数理统计这里121220.025,10,20,228,αnnnn0.025(28)2.048.t1.1688.ωs故两总体均值差的置信水平为0.95的置信区间为12μμ1500,x2496,x122121211((2))αωxxtnnsnn(40.93)即(3.07,4.93).数理统计两个总体方差比的置信区间2212σσ2.(为已知)12,μμ22122122212(1,1)αSSFnnσσ221212122122212{(1,1)(1,1)}1ααSSPFnnFnnασσ由即222111222221222121211{}1(1,1)(1,1)ααSσSPαSFnnσSFnn数理统计可得到的置信水平为的置信区间为1α2212σσ222111222221222121211()(1,1)(1,1)ααSσSSFnnσSFnn数理统计例4研究由机器A和机器B生产的钢管的内径,随机地抽取机器A生产的钢管18只,测得样本方差随机地取机器B生产的钢管13只,测得样本方差设两样本相互独立,且设由机器A和机器B生产的钢管的内径分别服从正态分布这里(i=1,2)均未知.试求方差比的置信水平为0.90的置信区间.2210.34();smm2,iiμσ2220.29().smm221122,,,,NμσNμσ2212σσ数理统计这里0.10,20.05,120.95,ααα0.05(17,12)2.59,F即(0.45,2.79).22112218,0.34,13,0.29.nsns解0.950.0511(17,12).(12,17)2.38FF故两总体方差比的置信水平为0.90的置信区间为2212σσ222111222221222121211()(1,1)(1,1)ααSσSSFnnσSFnn数理统计某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元,标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）.解设每天职工的总医疗费为X，近似服从正态分布X),(2nN由中心极限定理，2E(X)=,D(X)=则有三、课堂练习数理统计nSXU近似N(0,1)分布使1}|{|2unSXP],[22unSXunSX得均值的置信水平为的区间估计为1未知，用样本标准差S近似代替.数理统计将=170,S=30,=1.96,n=30代入得,X的置信水平为0.95的置信区间是[159.27,180.74]2u],[22unSXunSX得均值的置信水平为的区间估计为1数理统计四、小结在本节中,我们学习了单个正态总体均值、方差的置信区间,两个正态总体均值差、方差比的置信区间.数理统计七、参数估计（6学时，第七章）1．理解参数的点估计、估计量和估计值的概念。2．掌握矩估计法（一阶、二阶）和极大似然估计法。3．了解估计量的无偏性、有效性和一致性概念，并会验证估计量的无偏性。4．理解区间估计的概念。会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。