抛物线-的定义第2课时

抛物线及其标准方程椭圆、双曲线的第二定义：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.·MFl0＜e＜1lF·Me＞1(2)当e＞1时，是双曲线;(1)当0e1时,是椭圆;复习·Ml·FNe=1问题当e=1时，它的轨迹是什么？动画抛物线的生活实例抛球运动平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。一、定义的轨迹是抛物线。则点若MMNMF,1即:︳︳︳︳··FMlN定点F叫做抛物线的焦点。定直线l叫做抛物线的准线。定点F与定直线l的位置关系是怎样的？课堂新授1、标准方程的推导xyo··FMlNK设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-p2p2设点M的坐标为（x，y），由定义可知，化简得y2=2px（p＞0）22)2(pxypx2取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴课堂新授其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离2、抛物线的标准方程课堂新授方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程yox··FMlNK方程y2=2px（p＞0）表示抛物线的焦点在X轴的正半轴上焦点：F（，0），准线L：x=-p2p2一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.抛物线的标准方程还有几种不同的形式?它们是如何建系的?课堂新授准线方程焦点坐标标准方程焦点位置图形三.四种抛物线及其它们的标准方程x轴的正半轴上x轴的负半轴上y轴的正半轴上y轴的负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py)0,2(pF)0,2pF(-)2,0(pF)2,0(pF-2=px-2=px2=py2=py-xyOFlxyOFlxyOFlxyOFl课堂新授想一想:1、椭圆，双曲线，抛物线各有几条准线？课堂新授2。根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线位置，开口方向？方程的应关系，如何判断抛物线的焦点第一：一次项的变量如为X（或Y）则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。第二：一次的系数的正负决定了开口方向课堂新授如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y=－6x2,求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x=-8y232解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）32准线方程为x=-－.例题讲解解:方程可化为:故焦点坐标为,准线方程为,612yx)241,0(.241y1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；41（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y课堂练习1课堂练习：2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=012焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=23、已知抛物线的标准方程是(1)y2=12x、(2)y＝12x2求它们的焦点坐标和准线方程；（2）先化为标准方程，，焦点坐标是（0，），准线方程是y＝－.yx1212241p481481（1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是x＝－3．解：课堂练习1例题讲解例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=49当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=32∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。2934已知抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的标准方程。课堂练习2提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2pyyxxyppyxypxxpyP8,4,212,422)2,4(22212212或所求为可得代入，，将或方程为位于第四象限，设所求点解：M(x,y)yxF(4,0)-4-5例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．因为p/2=4,所以p=8,所求方程是y2＝16x．分析：例题讲解例4、M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是————————————X0+—2pOyx．FM．抛物线(p.0)上任意一点Ppxy22),(00yx到焦点的距离（称为焦半径）2||0Px等于课堂练习31.抛物线y2=2px(p0)上一点M到焦点的距离是a(a),则点M到准线的距离是,点M的横坐标是.2paa－2p2.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是.)26,6(课堂练习3例5.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.lXyFAOB例题讲解例题讲解分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为y=x－1.①将方程①代入抛物线方程y2=4x,得（x－1）2=4x化简得x2－6x＋1=0设A(x1,y1),B(x2,y2)得：x1+x2=6,x1x2=1.将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式22122114)(||kxxxxAB82436分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦（两个焦半径的和），从而达到求解目的.例题讲解同理,12xBBBF于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2＋2.于是|AB|=6+2=8解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知，|AF|=.12||,11xpxAAAA而说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.由方程x2－6x＋1=0，根据根与系数关系可以得x1+x2=61.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．过原点的直线l与双曲线13422yx交于两点，则l的斜率的取值范围是___________.3．过抛物线y2=2px的焦点F的诸弦中，最短的弦长是。课堂练习4B)23,23(2p4.过点(0,2)与抛物线28yxA.1条B.2条C.3条D.无数多条只有一个公共点的直线有()C小结：1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、准线方程3、求标准方程常用方法：（1）用定义；（2）用待定系数法。课堂新授本节主要学习内容4、直线与抛物线的位置关系，注意焦半径、焦点弦的应用，到焦点和到准线的线段的转化。