正弦定理练习--含答案

课时作业1正弦定理时间：45分钟满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】D【解析】本题考查了正弦定理由asinA＝bsinB，得sinA＝32，∴∠A＝π3.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知∠A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.3－1D.3【答案】B【解析】由正弦定理asinA＝bsinB，可得3sinπ3＝1sinB，sinB＝12，故∠B＝30°或150°，由ab，得∠A∠B.∴∠B＝30°，故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2，故选B.3．在△ABC中，若tanA＝13，C＝56π，BC＝1，则AB＝________.【答案】102【解析】∵tanA＝13，且A为△ABC的内角，∴sinA＝1010.由正弦定理得AB＝BCsinCsinA＝1×sin56π1010＝102.4．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的周长．【分析】本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC，但BC的对角∠A未知，只知道∠B，可结合条件由正弦定理先求出∠C，再由三角形内角和定理求出∠A.【解析】由正弦定理，得sinC＝ABsinBAC＝32.∵ABAC，∴∠C∠B，又∵0°∠C180°，∴∠C＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C＝60°时，∠A＝90°，BC＝4，△ABC的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋23.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋23.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】∵sinA＝sinC，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么abc＝()A．1:2:3B．1:2:3C．1:2:3D．1:3:2【答案】D【解析】设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，由∠A＋∠B＋∠C＝180°得，k＋2k＋3k＝180°，∴k＝30°，故∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.由正弦定理得a:b:c＝sinA:sinB:sinC＝sin30°:sin60°:sin90°＝1:3:2.3．在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，则()A．b＝42B．b＝43C．b＝46D．b＝323【答案】C【解析】∠A＝180°－60°－75°＝45°，由asinA＝bsinB可得b＝asinBsinA＝8sin60°sin45°＝46.4．已知△ABC中，a＝1，b＝3，A＝π6，则B＝()A.π3B.23πC.π3或23πD.56π或π6【答案】C【解析】由asinA＝bsinB得sinB＝bsinAa，∴sinB＝3·sin30°1＝32，∴B＝π3或23π.5．在△ABC中，已知∠A＝30°，a＝8，b＝83，则△ABC的面积S等于()A．323B．16C．326或16D．323或163【答案】D【解析】由正弦定理，知sinB＝bsinAa＝83sin30°8＝32，又ba，∴∠B∠A，∴∠B＝60°或120°.∴∠C＝90°或30°.∴S＝12absinC的值有两个，即323或163.6．在△ABC中，cosAcosB＝ba＝85，则△ABC的形状为()A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】D【解析】∵cosAcosB＝ba＝sinBsinA，即sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝π2，又cosA≠cosB，∴∠A≠∠B，∴∠A＋∠B＝π2，∴△ABC为直角三角形．7．已知△ABC中，2sinB－3sinA＝0，∠C＝π6，S△ABC＝6，则a＝()A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】由正弦定理得asinA＝bsinB，故由2sinB－3sinA＝0，得2b＝3a.①又S△ABC＝12absinC＝12absinπ6＝6，∴ab＝24.②解①②组成的方程组得a＝4，b＝6.故选B.8．在△ABC中，∠A＝60°，a＝13，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC等于()A.833B.2393C.2633D．23【答案】B【解析】由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC得a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R＝asinA＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC中，b2－c2a2sin2A＋c2－a2b2sin2B＋a2－b2c2sin2C的值为________．【答案】0【解析】可利用正弦定理的变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC代入原式即可．10．在锐角三角形ABC中，若∠A＝2∠B，则ab的取值范围是________．【答案】(2，3)【解析】∵△ABC为锐角三角形，且∠A＝2∠B，∴02∠Bπ2，0π－3∠Bπ2，∴π6∠Bπ4.∵∠A＝2∠B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，∴ab＝sinAsinB＝2cosB∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC中，已知a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求b.(2)在△ABC中，已知∠A＝45°，a＝2，b＝2，求B.【解析】(1)∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理asinA＝bsinB，得b＝a·sinBsinA＝5·sin45°sin30°＝52.(2)由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝2sin45°2＝12.又∵0°∠B180°，且ab，∴∠B＝30°.【规律方法】(1)中要注意在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC中，已知sinA＝sinB＋sinCcosB＋cosC，判断△ABC的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sinA＝sinB＋sinCcosB＋cosC，∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sinAcosB＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAcosB＋cosAsinB.∴cosAsinC＋sinBcosA＝0.∴cosA(sinB＋sinC)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sinB＋sinC≠0.∴cosA＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．