二元函数的泰勒展开

*第九节一、二元函数泰勒公式二、极值充分条件的证明二元函数的泰勒公式第八章一、二元函数的泰勒公式一元函数)(xf的泰勒公式:+′′+′+=+20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(+10)1(!)1()(+++++nnhnxxfθ)10(θ推广多元函数泰勒公式机动目录上页下页返回结束记号(设下面涉及的偏导数连续):),()(00yxfykxh∂∂+∂∂),()(002yxfykxh∂∂+∂∂),()(00yxfykxhm∂∂+∂∂),(),(0000yxfkyxfhyx+表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx++),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm−−=∂∂∂∑•一般地,机动目录上页下页返回结束••表示表示定理1.),(),(00yxyxfz在点设=的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,),(00kyhx++为此邻域内任一点,则有),(),(0000yxfkyhxf=++),()(00yxfkhyx∂∂∂∂+++++∂∂∂∂),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn∂∂∂∂++),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnnθθ+++=+∂∂∂∂+)10(θnR+其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.机动目录上页下页返回结束证:令),10(),()(00≤≤++=tktyhtxftϕ则),()1(,),()0(0000kyhxfyxf++==ϕϕ利用多元复合函数求导法则可得:),(),()(0000tkythxfktkythxfhtyx+++++=′ϕ),()()0(00yxfkhyx∂∂∂∂+=′⇒ϕ),()(002tkythxfhtxx++=′′ϕ),(200tkythxfkhyx+++),(002tkythxfkyy+++),()()0(002yxfkhyx∂∂∂∂+=′′⇒ϕ机动目录上页下页返回结束),(C)(000)(tkythxyxfkhtpmpmpmpmppmm++∂∂∂=−−=∑ϕ一般地,),()()0(00)(yxfkhmyxm∂∂∂∂+=⇒ϕ由)(tϕ的麦克劳林公式,得=)1(ϕ)()1(!)1(1θϕ+++nn)10(θ将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.)0()0()0()0()(!1!21nnϕϕϕϕ++′′+′+机动目录上页下页返回结束),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnnθθ+++=+∂∂∂∂+说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,,22kh+=ρ令则有1)(!)1(+++≤nnkhnMR⎟⎠⎞⎜⎝⎛==αραρsincoskh11)sincos(!)1(++++=nnnMααρ)1(max2]1,0[xx−+利用11)2(!)1(+++≤nnnMρ)(noρ=2=机动目录上页下页返回结束(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf−++),(00kyhxfhxθθ++=),(00kyhxfkyθθ+++)10(θ(3)若函数),(yxfz=在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,.),(常数≡yxf由中值公式可知在该区域上机动目录上页下页返回结束例1.求函数)0,0()1ln(),(在点yxyxf++=解:yxyxfyxfyx++==11),(),(的三阶泰勒公式.2)1(1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx++−===333)1(!2yxyxfpp++=∂∂∂−)3,2,1,0(=p444)1(!3yxyxfpp++−=∂∂∂−)4,3,2,1,0(=p因此,)0,0()(fkhyx∂∂∂∂+)0,0()0,0(yxfkfh+=kh+=机动目录上页下页返回结束)0,0()(2fkhyx∂∂∂∂+)0,0()(3fkhyx∂∂∂∂+)0,0()0,0(2)0,0(22yyyxxxfkfkhfh++=)0,0(C333303ppppppyxfkh−−=∂∂∂=∑3)(2kh+=2)(kh+−=,0)0,0(=f又代入三阶泰勒公式得将ykxh==,=++)1ln(yxyx+2)(21yx+−33)(31Ryx+++其中),()(43khfkhRyxθθ∂∂∂∂+=44)1()(41yxyxθθ+++⋅−=ykxh==)10(θ机动目录上页下页返回结束时,具有极值则:1)当二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz=0),(,0),(0000==yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx===02−BAC02−BAC02=−BAC定理2(充分条件)机动目录上页下页返回结束证:由二元函数的泰勒公式,并注意0),(,0),(0000==yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz−++=Δ20021),([hkyhxfxxθθ++=khkyhxfyx),(200θθ+++]),(200kkyhxfyyθθ+++,),(),(00连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以αθθ+=++Akyhxfxx),(00βθθ+=++Bkyhxfyx),(00γθθ+=++Ckyhxfyy),(00机动目录上页下页返回结束]2[2221kCkhBhA++=其中α,β,γ是当h→0,k→0时的无穷小量,于是Δz),(21khQ=)(22kh+=ρ,,很小时因此当kh.),(确定的正负号可由khQzΔ(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,])()2[(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA−+++=∵])())[(2221kBACkBhAA−++=,0),(,0khQA时可见,当从而△z＞0,因此),(yxf;),(00有极小值在点yx机动目录上页下页返回结束)(2ρo+]2[2221kkhhγβα+++,0),(,0khQA时当从而△z＜0,在点因此),(yxf;),(00有极大值yx(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则]))[(),(221kkBhAkhQA++=)(2BAC−),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直线当=−+−时,有,0=+kBhAAkhQ与故),(异号;),(yx当,),(0000时接近沿直线yxyy=−,0=k有AkhQ与故),(同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxxy),(00yxo机动目录上页下页返回结束++－xy),(00yxo若A＝C＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时222),(kCkhBhAkhQ++=),(00kyhx++对点,,同号时当kh,0),(khQ,,异号时当kh,0),(khQ可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxkhB2=,0Δz从而,0Δz从而(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则21)(),(kBhAkhQA+=2),(kCkhQ=若A＝0,则B＝0,可能),(khQ为零或非零机动目录上页下页返回结束此时)(),(221ρokhQz+=Δ因此作业P671,3,4,5第十节目录上页下页返回结束,)(,0),(2确定的正负号由时因为ρozkhQΔ=不能断定(x0,y0)是否为极值点.