2016_2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件资料

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念自主学习•新知突破1．了解数系的扩充过程．2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法．创设情景，探究问题——数的发展过程(经历)：计数的需要⇒自然数(正整数和零)测量、分配中的等分解方程3x＝5⇒分数表示相反意义的量解方程x＋3＝1⇒负数度量解方程x2＝2⇒无理数分数集⇔有理数集⇔循环小数集实数集循环小数不循环小数合情推理，类比扩充一元二次方程x2＝－1在实数集范围内的解是？思考：我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？[提示]引入一个新数：i――→规定i2＝－11．复数的定义：形如__________的数叫作复数．其中i叫作_______________，满足：i2＝______.2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即__________，这种表示形式叫作复数的代数形式，其中实数a叫作复数z的_______，实数b叫作复数z的_________．复数的概念及其代数表示法a＋bi虚数单位－1z＝a＋bi实部虚部1．复数的分类复数的分类2．集合表示设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔________.1．理解复数与复数集的概念应注意以下几点(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．复数相等的充要条件a＝c且b＝d2．复数代数形式的应用(1)由代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数．若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但当两个复数都是实数时，可以比较大小．1．复数i－i2的虚部为()A．0B．1C．iD．－2解析：i－i2＝1＋i.答案：B2．下列复数中，是实数的是()A．1＋iB．i2C．－iD．mi解析：1＋i显然是虚数，i2＝－1是实数，当m＝0时，mi是实数0，当m≠0时mi不确定，－i是纯虚数．答案：B3．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝___.解析：根据复数相等的充要条件可知：2m－5n＝3n，3＝－m＋5，解得m＝－8，n＝－2.所以m＋n＝－10.答案：－104．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．4,2－3i,0，－12＋43i,5＋2i,6i.解析：4,2－3i,0，－12＋43i,5＋2i,6i的实部分别是4,2,0，－12，5,0；虚部分别是0，－3,0，43，2，6.4,0是实数；2－3i，－12＋43i,5＋2i,6i是虚数，其中6i是纯虚数.合作探究•课堂互动复数的概念判断下列命题的真假：(1)若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；(2)若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时为纯虚数；(3)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．[思路点拨]由已知――→借助于复数的概念――→判断出命题的真假(1)中，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，(1)是假命题．(2)中，当a，b∈R时才成立，(2)是假命题．(3)中，当a＝－1时，a＋1＝0不满足纯虚数的条件，(3)是假命题．正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．1．下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；④若a∈R，则(a＋2)i是纯虚数．其中，假命题的序号是________．解析：①当这两个复数都是实数时，可以比较大小．②若a＝0，则ai不是纯虚数．③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．④当a∈R且a＝－2时，(a＋2)i＝0不是纯虚数．因此所给的4个命题全部是假命题．答案：①②③④复数的分类实数x分别取什么值时，复数z＝x2－x－6x＋3＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[思路点拨](1)要使z是实数，必须且只需x＋3≠0，x2－2x－15＝0，解得x＝5.4分(2)要使z为虚数，必须且只需x＋3≠0，x2－2x－15≠0，解得x≠－3且x≠5.8分(3)要使z为纯虚数，必须且只需x2－x－6x＋3＝0，x2－2x－15≠0，解得x＝3或x＝－2.12分复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当满足①b＝0时复数z是实数，②b≠0时复数z是虚数，③a＝0，b≠0时复数z是纯虚数．研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是否有意义．特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，采用的是标准形式的代数式，若不是复数的标准代数形式，应先化为复数的标准代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，再依据概念求解、判断复数是实数，仅注重虚部为零是不够的，还需要考虑它的实部是否有意义．2．已知m∈R，复数z＝(m2＋2m)＋m2＋m－6mi.当复数z满足下列条件时，求m的值．(1)z为纯虚数；(2)z为正实数．解析：(1)若z为纯虚数，则有m2＋2m＝0，m2＋m－6m≠0，m≠0，解得m＝－2，即当m＝－2时，z为纯虚数；(2)若z为正实数，则有m2＋m－6m＝0，m2＋2m0，解得m＝－3或m＝2，即当m＝－3或m＝2时，z为正实数．复数相等的充要条件已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为()A．4B．－1C．－1或4D．－1或6[思路点拨]M∩N＝{3}⇒3∈M⇒m2－3m－1＋m2－5m－6i＝3⇒m2－3m－1＝3且m2－5m－6＝0⇒求得m的值解析：由M∩N＝{3}得3∈M，故(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3，因此得m2－3m－1＝3，m2－5m－6＝0，解得m＝4或m＝－1，m＝6或m＝－1，所以m的值为－1，故选B.答案：B复数相等的充要条件是求复数及解方程组的主要依据，是复数问题实数化的桥梁和纽带，但这一条件必须在标准代数形式下确定实部与虚部后才可应用．3．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．解析：由于2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，且x，y∈R.所以有2x－1＝x－y，y＋1＝－x－y，解得x＝3，y＝－2.即实数x，y的值分别为3和－2.◎求满足条件－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i的实数a，b的取值情况．【错解】由－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i，得－2＋a＞－5，－b－a＞a＋2b－6，解得a＞－3，b＜2.【错因】错解想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大，而忽视了只有实数才能比较大小的前提，因此本题中的复数应为实数．【正解】由－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i，可得a＋3＋(－3b＋6)i＞0，所以a＋3＞0，－3b＋6＝0，解得a＞－3，b＝2.