51.3.2函数的极值与导数

3.3.2函数的极值与导数判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法f`(x)0增函数f`(x)0减函数1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内3)、如果f′(x)=0，则f(x)为常数函数；复习:单调性与导数的关系：探究1:观察下图，当t=t0时,运动员距水面的高度最大,那么函数h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？thaoh’(a)=0单调递增h’(t)0单调递减h’(t)0探究2、如图，函数y=f(x)在a,b,d,e,f,g,h,i等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？abcdefoghijxyy=f(x)y=f(x)2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.函数极值的定义——4)极大值与极小值统称为极值.1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.3)极大值点,极小值点统称为极值点.ba注:函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、最小值.即:极大值不一定等于最大值极小值不一定等于最小值f(a)f(b)0),0)(;0)(xfxfaxaf（右侧附近的左侧而且在点0),0)(;0)(xfxfbxbf（右侧附近的左侧而且在点下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.)(xfy)(xfyabxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy书P29页的练习第二题习题书P32页A组第4题下图是导函数的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大值?(4)函数有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy2xx1xx4xx或3xx5xx练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②可导函数在极值点的导数一定等于零；③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②3xy如对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.三、例题选讲:解:).2)(2(42xxxy令,解得x1=-2,x2=2.0y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.3128443Pyxx（课本）例4.求函数的极值(1)求导函数f'(x)；(2)求解方程f'(x)=0；(3)检查f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.用导数法求解函数极值的步骤：练习2：书P29页的第2题求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,112)()1(xxf令解得列表:,0)(xf.121xx0f(x))(xf+单调递增单调递减–)121,(),121(1212449所以,当时,f(x)有极小值121x.2449)121(f练习2求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.练习2求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0312)()3(2xxf令解得.2,221xx所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22.,033)()4(2xxf令解得.1,121xx所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2.例2、求函数的极值．1)1()(32xxf解：22)1(6xxy当x变化时，的变化情况如下表：yy,无极值极小值0无极值y+0+0—0—1(0,1)0(-1,0)-1xy)1,(),1(令，解得1,0,1321xxx0y当时，y有极小值，并且0x0极小值y补充例题1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①)(xf又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或.33114baba当a=-3,b=3时,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0)1(3)(2xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2xxxxxf-3/11x1时,;x1时,,此时x=1是极值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为a=4,b=-11.32()fxaxbxcx3.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：（1）的值；（2）a,b,c的值；0x'()yfx0x2,9,12abc.10x)0(23(2/acbxaxxf　　）＝或－23332acab5)1(cbaf0412)2(023)1(//＝cbafcbaf略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用走进高考练习：的值。极值，求处取得在辽宁）若函数、（axxaxxf11)(0922的值。、时，取得极小值。求取得极大值；当时，当：已知函数baxxbxaxxxf13,27)(323