98双曲线的性质

引导设问1双曲线的定义和标准方程是什么？椭圆有哪些几何性质？离心率的大小对椭圆的形状有何影响？你能从双曲线方程得到双曲线这些的几何性质吗？)0,0(12222babyax222bac||MF1|-|MF2||=2a（０2a|F1F2|）12222byax12222bxay定义图象方程的关系,,abcoF1F2A1A2B2B1椭圆的简单几何性质有哪些？范围对称性顶点离心率yx范围、对称性、顶点、离心率.渐近线类比椭圆,探讨双曲线的几何性质:)0,0(12222babyax1．范围x≤－a或x≥a．说明双曲线位于直线x＝－a的左侧与直线x＝a的右侧（如图）．因为220yb≥，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上的点的横坐标满足221xa≥22xa≥，即．于是有oxyaa2．对称性x轴与y轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心（简称中心）．1A2Aoxy,xy,xy,xy,xy3.顶点方程中，令y=0，得x=±a，说明双曲线与x轴．（如图）1(0)Aa，2(0)Aa，和双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点．有两个交点o-b1B2Bb1A2Axaya是双曲线的顶点．2(0)Aa，和1(0)Aa　　　，因此o-b1B2Bb1A2Axaya令x=0，得y=－b，这个方程没有实数解，说明双曲线和画出来．1(0)Bb，2(0)Bb，和y轴没有交点．但我们也将点线段1212AABB，分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别表示双曲线的半实轴长和半虚轴长．3.顶点说明实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．1A2A1B2Bob观察这两条直线与双曲线有何关系？xya经过12AA、12BB、分别作y轴的平行线x=－a，x=a，经过分别作x轴的平行线y=－b，y=b．这四条直线围成一个矩形（如图）．双曲线的标准方程可以写成22221bbayxaxaaxbyxa．矩形的两条对角线所在的方程为4．渐近线可以看到，当|x|无限增大时，y的值无限接近于bxa的值．这说明双曲线的两支曲线与两条直线byxa无限接近（但不能相交）．因此，两条直线byxa叫做双曲线的渐近线．1A2A1B2Bobxya22221bbayxaxaax4．渐近线5．离心率双曲线焦距与实轴长的比22aacc叫做双曲线的离心率，记作e．即cea．因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率e＞1．由2222211bcaceaaa可以看到，e越大，的值越ba绝对值越大，这是双曲线的“张口”的值可以刻画出双曲线“张口”的大小．大，即渐近线的斜率的byxa就越大（如图）．因此，离心率e想一想等轴双曲线的离心率是多少？解将所给的方程化为标准方程，得221169xy．程为34yx．可以先画出双曲线在第一象限及其边界内的图形，然后再利用双曲线的对称性，画出全部图形．例3求双曲线点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程，并用“描点法”画22916144xy　　的实轴长、虚轴长、焦出图形．因此双曲线的焦点在x轴上且2222216925abcab，，．故a=4，b=3，c=5．所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6，焦点为12(50)(50)FF，，，54cea，，离心率为渐近线方双曲线方程在第一象限及其边界内可以变形为23164yx．在区间[4，+∞]内，选出几个x的值，计算出对应的y值．列表：5.204.313.352.250y87654x以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x，y)，用光滑的曲线顺次联结各点得到双曲线在第一象限及其边界内的图形．然后利用双曲线的对称性，画出全部图形（如图）．例3求双曲线点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程，并用“描点法”画22916144xy　　的实轴长、虚轴长、焦出图形．双曲线方程在第一象限及其边界内可以变形为23164yx．在区间[4，+∞]内，选出几个x的值，计算出对应的y值．列表：5.204.313.352.250y87654x以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x，y)，用光滑的曲线顺次联结各点得到双曲线在第一象限及其边界内的图形．然后利用双曲线的对称性，画出全部图形（如图）．画双曲线的草图时，可以首先确定顶点，再画出双曲线的渐近线，然后根据双曲线与其渐近线逐渐接近的特点画出图形．解由已知条件知双曲线的焦点在y轴．所以有故所求的双曲线方程为2212016xy．例4已知双曲线的焦点为（6，0），渐近线方程为255yx，求双曲线的标准方程．2236255abba解得254ab，．255yx不能由渐近线方程直接得到25a，4b．想一想为什么？例5已知双曲线的两个顶点坐标为（0，－4），（0，4）离心率为，求双曲线的标准方程及其渐近线方程．32因此双曲线的标准方程为双曲线的渐近线方程为425025yxxy，即．解由已知条件知342ae，，焦点在y轴上．因此3462cae．故22236420bca．2211620yx．2222221116916917171259xyyxxy（1）　或　；（2）　．（1）半实轴为4，半虚轴为3；求适合下列条件的双曲线的标准方程．（2）渐近线方程为35yx，焦点坐标为．(20)，已知双曲线的实轴长为12，焦距为14，焦点在y轴上，求双曲线的标准方程．2213613yx.作业:练习7.6.2再见