6.2矩形的性质与判定(2)

6.2矩形的判定复习回顾四边形集合平行四边形集合矩形集合定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角∟矩形矩形的性质(1)边：对边平行且相等(2)角：四个角都是直角(3)对角线：相等且互相平分ABDC∵矩形ABCD,∴ABCD，ADBC．∵矩形ABCD∴AC=BD且OA=OB=OC=OD.∵矩形ABCD∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．O性质课前热身1、矩形的四个内角都是______。2、矩形的对角线______且__________。直角相等互相平分3、矩形是______________对称图形。轴对称和中心4、在直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的_______。5、在直角三角形中，斜边上的______等于斜边的______。30°一半中线一半矩形的判定方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.∵在ABCD中∠B=90°∴四边形ABCD是矩形ABCD∟情境：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。ABCD证明:AB=CDBC=BCAC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）又∵AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=∠DCB=90°∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,AB∥DC在△ABC和△DCB中对角线相等的平行四边形是矩形。ABDC几何语言：∵在ABCD中AC=BD∴ABCD是矩形0有一个角是直角有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)探究猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。P15你能证明上述结论吗？已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形。ABCD∟∟∟证明：∵∠A=∠B=90°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵∠A=90°∴四边形ABCD是矩形命题：有三个角是直角的四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形几何语言：有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。方法1：方法2：方法3：任意一个四边形，三角直角定矩形。对于平行四边形，一个直角即可定；对线相等也矩形。矩形的判定口诀：你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？【P16议一议】如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）（3）四个角都是直角的四边形是矩形。（）（6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．()例：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4cm，求这个□ABCD的面积.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵△AOB是等边三角形∴OA=OB，∴AC=BD，∴□ABCD是矩形.在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm,∴BC=228443(cm),∴S□ABCD=AB·BC=4×4=16(cm2).33ABCDO已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC。求证：四边形ABCD是矩形。ABCDMP17随堂练习∠A=∠B=∠C=90°ABCDAC=BDABCD∠A=90°ABCD是矩形四边形ABCD是矩形谈一谈，今天你有何收获？判定一个四边形是矩形的方法是：P17习题6.5第1,2题2．如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗(如图①)使AB=CD、EF=GH；(2)摆放成(如图②)的四边形，则这时窗框的形状是，根据的数学道理是。(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格这时窗框是，根据的数学道理是。有一个内角是直角相等矩形矩形两组对边分别相等的四边形平行四边形1．的平行四边形是矩形．对角线的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是形。平行四边形有一个角是直角的的平行四边形是矩形3、已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AD=BC，试说明四边形ABCD是矩形。证明：∵AD=CBAD∥CB∴四边形ABCD是平行四边形∵AB⊥BC∴∠B=90°∴□ABCD是矩形ABCD∟4、如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，求证:四边形ABCD是矩形。DBCA证明：∵AB=6,BC=8,AC=10∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2∴∠B=90°又∵四边形ABCD是平行四边形∴□ABCD是矩形5、BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，求证：四边形AEBD是矩形。证明：∵AE⊥BE，AD⊥BD∴∠E=90°,∠D=90°∵BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线2121∴∠1=∠ABC,∠2=∠ABP∴□AEBD是矩形CBADEP⌒⌒12∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ABP)=×180°=90°2121即∠DBE=90°AOBDC6、已知如图四边形ABCD中AO=BO=CO=DO，试说明四边形ABCD是矩形。证明：∵AO=BO=CO=DO∴AO=CO，BO=DO∴四边形EFGH是平行四边形即AC=BD∴四边形ABCD是矩形又∵AO+CO=BO+DOABCDEFGHO7、已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。证明：∵四边形ABCD是矩形∴AO=BO=CO=DO又∵AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平行四边形又∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH是矩形ABDCHEFG∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB+∠ABC=180°8、如图，ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由证明：同理：∠EFG=90°、∠FGH=90°∴四边形EFGH是矩形∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC∴∠EAB+∠EBA=90°即∠AEB=90°∴∠HEF=90°ABDCHEFG8、如图，ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由证明：MPNQ∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠ADC又∵AN、DM是∠ABC、∠ADC的平分线∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM又∵AD∥BC∴∠AQB∠QBC==∠ADM∴BQ∥DM∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC∴∠EAB+∠EBA=90°即∠AEB=90°∴∠HEF=90°∴四边形EFGH是矩形同理：AN∥CP∴四边形EFGH是平行四边形变式：平行四边形ABCD，AF、BH、CH、DF分别是BAD、ABC、BCD、CDA的平分线。求证：EF=GH.MLKNFGHEDCBA9、如图,在△ABC中,点0是AC边上的一个动点,过点0作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,ABCMN012546(1)求证:0E=0F(2)当0运动到何处时,四边形AECF为矩形?说明理由EF证明：∵CF平分∠ACD∴∠1=∠2又∵MN∥BC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OC=OF同理可证：OC=OE∴OE=OFD答：当点0为AC的中点时，四边形AECF是矩形理由：由（1）知0E=0F，又AO=CO∴四边形AECF是平行四边形又∵EC平分∠ACB，FC平分∠ACD∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°∴四边形AECF是矩形拓展：(1)对角线相等的四边形是矩形吗?(2)需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗?归纳：对角线相等且互相平分的四边形是矩形∵AC=BD且OA=OCOB=OD∴四边形ABCD是矩形等腰梯形测量…？现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格方案:方案:方案:分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格方案1:先用两组对边相等判定是平行四边再用定义判定是矩形测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格方案2:有三个角是直角的四边形是矩形分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格方案3:先用两组对边相等判定是平行四边再用对角线相等判定是矩形分别测量出一组对边的长度和这组同旁内角的度数，如果这组对边的长度相等，且这两个内角都是直角，则窗框符合规格方案4:先用一组对边平行且相等判定是平行四边再用定义判定是矩形