莫尔圆应力分析

莫爾圓應力分析(動畫資源取材自張國彬葛兆忠老師)2005.03.23同學複習囉問題1一般常見應力狀態分成哪幾種？应力状态分析1.单轴应力状态：单轴压缩单轴拉伸2.双轴应力状态：双轴拉压平面应力3.三轴应力状态：XY單軸應力狀態APθθσθτθ垂直面受力(a)斜截面受力(b)PPPPPP(a)(b)單軸應力分析--垂直面物體垂直斷面承受一拉力單軸應力分析-斜截面P於斜截面上可分解為：正交力N=Pcosθ剪力V=Psinθσθ=N/A=Pcosθ/A=P/Acos2θτθ=V/A=Psinθ/A=P/2Asin2θ斜截面上承受一拉力單軸應力分析最大正交應力θ=0°σθ=P/A*cos0°=P/A=σ最小正交應力θ=90°σθ=P/A*cos90°=0最大剪應力θ=45°τθ=P/A*sin2x45°=1/2σ雙軸應力狀態正負符號判斷+-雙軸應力—垂直面最大正交應力σ1=σxσ2=σy最大剪應力τ=1/2(σx-σy)雙軸應力分析破壞面上正交應力σθ=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos2θ破壞面上剪應力τθ=1/2(σx-σy)sin2θ雙軸應力---斜截面最大正交應力θ=0°σmax=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos0°=σxτ=0最小正交應力θ=90°σmin=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos90°=σyτ=0最大剪應力θ=45°τmax=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)sin90°=1/2(σx-σy)平面應力----純剪當σx=-σy則σθ=1/2(σx-σx)+1/2(σx+σx)cos90°=0τθ=1/2(σx-σx)+1/2(σx+σx)sin90°=1/2σx(0,τ)σy應力分析單軸應力1.在斜面：σ=σxcos2θ，τ=σxsinθcosθ。2.45°面：σave==τmax=σx/2(平均正交應力等於最大剪應力)雙軸應力1.σx與σy稱為主應力(principalstress)，其作用面稱為主平面(pnincipalplane)，主平面上之剪應力為零。2.θ=45°時，Tθ最大，且Tmax=1/2(σx-σy)，而σave=1/2(σx+σy)平面應力1.主應力σ1;2=σx+σY/2+（σx-σy/2）2+T22.最大剪應力：Tm=(σx-σy/2)2+T23.平均應力：σave=σx+σy/2純剪應力1.對任一純剪之應力狀態，在θ=45°之傾斜面上可得一主應力狀態，且σ1=-σ2=r莫爾圓應力分析名詞解釋σθ:與垂直面夾θ之平面上之正向應力τθ:與垂直面夾θ之平面上之剪應力σ1:最大主應力σ2:最小主應力τmax:最大剪應力τσ(σy,τ)(σx,τ)σ1σ2(0,τmax)(σθ,τθ)2θxyABxyθ莫爾圓作圖程序2xxyxA,Cyx2y11.作之直角座標軸2.X方位之及為A點y方位之及為B點3.標示AB兩點於座標軸上4.通過AB兩點畫圓AB連線過水平軸點即為圓心(C,0)即xxyyyxxyxA,yxyB,0,2yxxyABxyxyyxyxyB,σX(C,0)莫爾圓作圖步驟Cyx2y1xyABxyxyyx),(EYXXB,θ5.以A座標點旋轉2θ，得E點，此極為θ平面上之正向應力與剪應力(σθ,τθ)6.σ1=C+Rσ2=C-R2θXYXA,σxσ2R莫爾圓應力分析1.畫平面座標，以σ為X軸，τ為Y軸。2.圓心為1/2(σx+σy)=(C,0)3.半徑為1/2(σx-σy)=R4.其與莫爾圓的交點座標即為（σθ，τθ）5.最大剪應力=莫爾圓半徑(R)6.最大剪應力面與主平面夾4507.最大正交應力θ=0°σmax=C+R8.最小正交應力θ=90°σmin=C-R9.最大剪應力θ=45°τmax=RRCRσ1σ2莫尔圆应力分析优点1.应力分析视觉化。2.σ1,σ2可以简单之加减法求得。3.(σθ,τθ)可以三角函数求得。4.没有公式之背诵错误困扰。同學練習囉12問題2如下圖，利用模具，練習莫爾圓的作圖程序，求σ1、σ2及τmax。(A)(B)(A)(B)),(maxnστ單軸應力分析如圖所示，一矩形斷面兩端受1000kg之拉力，其斷面為4cmx5cm，。試以1.公式解2.莫爾圓求：(1)θ=450°時之σn，τ各為多少?(2)最大剪應τmax為多少？(3)σ1，σ2各為多少？4501000kg1000kg公式解2max02221220222/2545/0/50/2590sin50212sin21/2545cos50cos/50541000cmkgcmkgcmkgcmkgcmkgcmkgAPxxnx4501000kg1000kg莫尔圆解(50,0)圆心坐标=1/2(50+0)=25(σ,τ)=(25,0)(σθ,τθ)σ1=50r=252θ=900στ(25,0)半径r=1/2(50-0)=251.σθ=25(kg/cm2)τθ=25(kg/cm2)2.σ1=50(kg/cm2)σ2=0(kg/cm2)τmax=25(kg/cm2)σx=1000/(4x5)=50σxσxθ=450雙軸應力分析如圖所示σx=400kg/cm2，σy=200kg/cm2。試求：(1)θ=30°時之σn，τ各為多少?(2)最大剪應τmax為若干？1.公式解2.莫爾圓θσx=400kg/cm2σy=200kg/cm2平面應力公式解σθ=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos2θ=1/2(400+200)+1/2(400-200)cos(2x30°)=350(kg/cm2)τθ=1/2(σx-σy)sin2θ=1/2(400-200)sin(2x30°)=50√3(kg/cm2)θ=45°τmax=1/2(σx-σy)=1/2(400-200)=100(kg/cm2)ABθ=300200400σxσy莫爾圓解yA圓心座標=1/2(400+200)=300(σ,τ)=(300,0)2.最大剪應力θ=45°τmax=r=100(kg/cm2)x2yxABθ=300=400=200=3002θ=600B(350,50√3)στ半徑r=1/2(400-200)=1001.σn=300+100cos60°=350(kg/cm2)τ=100sin60°=50√3(kg/cm2)(300,0)200400平面應力分析例題10(kg/cm2)50(kg/cm2)10(kg/cm2)50(kg/cm2)40(kg/cm2)xy如下圖所示之平面應力元件σx=50kg/cm2，σy=10kg/cm2，τxy=40kg/cm2。試以1.公式解2.莫爾圓求：(1)θ=30°時之σn，τ各為多少?(2)最大剪應τmax為多少？(3)σ1，σ2各為多少？公式解50)40()21050()()2(2222xyyxσn=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos2θ-τxysin2θ=1/2(50+(-10))+1/2(50-(-10))cos2x30°-40sin2x30°=0.359(kg/cm2)τ=1/2(σx-σy)sin2θ+τxysin2θ=1/2(50-(-10))sin2x30°-40sin2x30°=45.981(kg/cm2)θ=45°τmax=(kg/cm2))30,70()40()21050(21050)()2(222222,1xyyxyxABθ=300401050莫爾圓解A2.最大剪應力θ=45°τmax=r=50(kg/cm2)σ1=20+50=70σ2=20-50=-302yxABθ=300=20B(50,40)(10,40)σ2=30σ1=702θ=600α=53.130r=50(σn,τ)圓心座標=1/2(50+(-10))=20(σ,τ)=(20,0)半徑r=√(302+402)=501σθ=20-50xcos66.870=0.359(kg/cm2)τθ=50sin66.87°=45.981(kg/cm2)α=tan-1(40/30)=53.130στ(20,0)501040