塑性变形力学计算2

杆件的塑性变形15.1概述工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。15.2金属材料的塑性性质图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有pe（15.1）弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。下面是几种常见的塑性材料模型。图15.1低碳钢拉伸的应力-应变曲线图15.2弹塑性应力-应变有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。nc15.3拉伸和压缩杆系的塑性分析现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷P逐渐增加时，杆件两端的反力是baPaRbaPbR21(a)P力作用点的位移是baEAPabEAaR1(b)如ab则21RR。随着P的增加，AC段图15.8两端固支杆图15.3理想弹塑性材料模型图15.4刚塑性材料模型图15.6刚塑性线性强化材料模型图15.5线性强化材料模型图15.7幂强化材料模型的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷为1P，载荷作用点的位移为1，由（a）、（b）两式求得bbaAPAbabPRs1,S111Eas1由平衡方程可知S2APR(c)载荷作用点c的位移为EAbPP11(d)CB段也进入塑性阶段时，S2AR，由（c）式求出相应的载荷为S22AP载荷达到2P后，整个杆件都已进入塑性变形。例18.1在图15.9a所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为A。试求使结构开始出现塑性变形的载荷1P、极限载荷pP。解：以1N和2N分别表AC和AD杆的轴力，3N表AB杆的轴力。令s1EE，s1AA，得图15.9三杆桁架3332212cos1,cos21cosPNPNN(e)当载荷逐渐增加时，AB杆的应力首先达到s，这时的载荷即为1P。由（e）式的第二式得31S3cos21PAN由此解出3S1cos21AP载荷继续增加，中间杆的轴力sN保持为SA,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力1N也达到SA，相应的载荷即为极限载荷PP。这时由节点A的平衡方程知1cos2cos2SSSPAAAP加载过程中，载荷P与A点位移的关系已表示于图15.9b中。15.4圆轴的塑性扭转圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即PIT(a)随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限s（图15.10a）。若相应的扭矩为1T，由（a）式知S3PS121rrIT(b)极限扭矩PT，其值为AspAdT取ddA2代入上式后完成积分，得s3P32rT(15.4)达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。例18.2设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图15.11a所示，并可近似地表为Bm式中m和B皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。图15.10圆轴受扭转解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用3.4中的（b）式，求得横截面上任意点处的剪应变为dxd(d)式中dxd是扭转角沿轴线的变化率，为横截面上一点到圆心的距离，ρ即为该点剪应变。（d）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图15.11b）。由（c）、（d）两式求出dxdBmρ(e)或者写成m1dxdB(f)横截面上的扭矩应为AρdAT取dAd2,并以(f)式代入上式，m13mm1m12mm1rmmdxdBddxdBT1322ro(g)从（f）和（g）两式中消去m1dxdB，得剪应力的计算公式m13132rmmrT(h)令r，得最大剪应力为图15.11剪应力和剪应变的关系mmITrmmrT413132P3max当1m时，材料变为线弹性的，上式变为PmaxIrT由（e）式知rdxdBmmax故有mPmax4131mmITrrBrBdxdm积分求得相距为l的两个横截面的相对扭转为rlmmITrBmP4131(i)当1m，GB时，上式化为PGIlT这就是公式（3.17）。15.5塑性弯曲和塑性铰15．5．1纯弯曲根据平面假设，横截面上距中性轴为y的点的应变为y(a)式中1是曲线的曲率。静力方程：A0Ad(b)AMAdy(c)在线弹性阶段，有IyM(d)若以1M表示开始出现塑性变形时的弯距，由（d）式知maxS1yIM(e)载荷逐渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为S（图15.12b）。最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。此时，无论在拉应力区或压应力区，都有S如以1A和2A分别表示中性轴两侧拉应力区和压应力区的面积，则静力方程（b）化为21AAA21sss120AAAAAdAdAd若整个横截面面积为A，则应有AAA21故有221AAA(15.5)极限情况下的弯矩即为极限弯矩pM，由静力方程（c）得A2121sAAssp12yAyAydAydAAdyM式中1y和2y分别是1A和2A的形心到中性轴的距离。利用公式（18.5）又可把上式写成21SP21yyAM(15.6)图15.12纯弯曲图15.14矩形截面梁的横力弯曲和塑性铰【例15.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变形时的弯矩1M和极限弯距pM。解：对矩形截面梁（图15.13），由（e）式得开始出现塑性变形的弯矩1M为S2maxS16bhyIM由公式（15.13）求得极限弯矩pM为S2S21SP4442121bhhhbhyyAM1M和pM之比为5.11PMM所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了50%。对圆截面梁,S3maxS14ryIMS3S321SP3434342121rrrryyAM7.13161PMM从开始塑性变形到极限情况，弯矩增加70%。15.5.2横力弯曲横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯矩外还有剪力。图15.14a中阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。把坐标原点放在跨度中点，并图15.13矩形截面和圆截面将坐标为x的横截面上的应力分布情况放大成图15.14b。在这一截面的塑性区内，S；弹性区内，yS。为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距离。故截面上的弯矩应为S223422A0Sh/2ShbbdyyybdyydAyM(15.7)还可由载荷及反力算出这一横截面上的弯矩为xlPM22令以上两式相等，得S223422hbxlP(f)这就是梁内塑性区边界的方程。设开始出现塑性变形的截面的坐标为a，在（f）式中，令ax，2h，得S2622bhalP由此求得塑性区的长度为max1S214612MMlPlbhla式中4,6maxS21PlMbhM随着载荷的增加,跨度中点截面上的最大弯矩最终达到极限值pM。15.6梁的塑性分析对图15.14a中的静定梁，跨度中点截面上的最大弯矩为4maxPlM。当maxM达到极限弯矩pM时，梁就在最大弯矩的截面上出现塑性铰。这就是梁的极限状态，这时的载荷也就是极限载荷pP。若梁的截面为矩形，S2P4bhM，于是极限载荷为lbhPS2P对其他形式的静定梁，也可按同样的方法进行塑性分析。以图15.15a所示静不定梁为例，说明静不定梁塑性分析的特点。根据塑性铰上的力偶矩为pM，并利用平衡方程，便可求得极限载荷。由图15.15d所示极限状态为例，由BC段的平衡方程0Cm，得lMRPB2再由整条梁的平衡方程0Am，得021PPBMPlR把BR的值代入上式后，解出图15.15静不定梁受集中载荷lMPPP6例15．4在均布载荷作用下的静不定梁如图15.16a所示。试求载荷q的极限值pq。解：梁的极限状态一般是跨度AB或跨度BC变成机构。现将上述两种情况分别进行讨论。要使AB跨变成机构，除A、B两截面形成塑性铰外，还必须在跨度内的某一截面D上形成塑性铰（图15.16b）。由于对称的原因，塑性铰D一定在跨度中点，且2BAqlRR。再由AD部分的平衡方程0Dm，得022222PAlqMlR将AR代入上式，解出2P16lMq（a）这是使AB跨达到极限状态时的均布载荷。现在讨论跨度BC。要使它变成机构，除支座截面B要成为塑性铰外，还要在跨度内的某一截面E上形成塑性铰。设截面E到支座C的距离为a。这样可把图15.16静不定梁受均布载荷BC跨分成图15.16d中的BE和EC两部分。对这两部分分别列出以下平衡方程：022,0m2,02PB2PalqMaqMm（b）从以上两式中消去PM，得lallaa210222显然应取2前的正号，即la12将a的值代入（b）式的第一式，即2P22P/6.11122lMlMq（c）这是使BC跨达到极限状态时的均布载荷。比较（a）、（c）两式，可见整个静不定梁的极限载荷是2PP/66.11lMq。15.7残余应力的概念载荷作用下的构件，当其某些局部的应力超过屈服极限时，这些部位将出现塑性变形，但构件的其余部分还是弹性的。如再将载荷解除，已经发生塑性变形的部分不能恢复其原来尺寸，必将阻碍弹性部分的变形的恢复，从而引起内部相互作用的应力，这种应力称为残余应力。例15.6在矩形截面梁形成塑性区后，将载荷卸尽，试求梁截面边缘处的应力。设材料是理想弹塑性的。解：当矩形截面梁的横截面上出现塑性区时，应力分布表示于图15.14b。根据公式（15.7），截面上的弯矩为3422ShbM这时梁内的最大应力为S。卸载过程相当于把与上列弯矩数值相等、方向相反的另一弯矩加于梁上，且它引起的应力按线弹性公式计算，即最大应力为22s22s2432346hhbbhWM叠加两种情况，得截面边缘处的残余应力为22SS412h由正弯矩引起的残余应力，在上边缘处为拉应力，下边缘处为压应力，如图15.18d所示。15.8塑性条件和塑性曲面受力构件一点处的应力状态，由它的三个主应力来表示。按照第三强度理论，如对主应力的记号采取321的规定，材料开始屈服的塑性条件为公式（15.2）。如对主应力的记号不采取321的规定，即321,,中的任一个都可能是最大或最小的主应力，这时塑性条件（15.2）应写成313332321（a）在二向应力状态下，03，以上条件变为图15.18残余应力321，32，31（b）塑性条件（b）在21平面中是一个六角形，如图15.19所示。在三向应力的情况下，塑性条件（a）在应力空间中是六个平面。这就是特雷斯卡塑性条件的几何表示。如图15.20所示。柱面以内的点代表不发生塑性形变的应力状态，而柱面上的点代表进入塑性形变的应力状态。这样的柱面称为塑性曲面。按照第四强度理论，材料的塑性条件为公式（15.3），即2S2132322212（c）在二向