计算方法简明教程王能超第二章 数值积分

(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：21100sinxxdxedxx和(2)还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数32)(22xxxf其原函数F(x)为：3222139()2323ln(223)416162FxxxxxxxC第二章数值积分()bafxdx()()FbFa()()Fxfx(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示．y=f(x)ab一、求积方法的历史变迁第一节机械求积yy=2x01x*Syy=2x01n2n1nn1xyy=2x01n2n1nn1x222211121311()()()nnRnnnnnnnn2131(1)322nn22221112131()()()nnTnnnnnnnn2123131(1)3221nininn*13S13n二、机械求积的概念()()(),bafxdxbafab如()()()bafxdxbafa()()()bafxdxbafb－－－－－－左矩形公式－－－－－－右矩形公式yy=f(x)abxyy=f(x)abx平均高度yy=f(x)abx①y=f(x)y1()()()()2bafxdxbafafbabyx(a+b)/2②()()()2baabfxdxbaf)2()(baff2)()()(bfaffy=f(x)abab2ab----------------梯形公式－－－－－－中矩形公式y=f(x)yab③Simpson公式：1()()()4()()62baabfxdxbafaffbab2ab0()()()nbaiiifxdxbaxf－－－－－－－－机械求积公式求积系数权系数求积节点1．求积系数及节点如何确定？2．此公式与Lagrange插值多项式有何关系？3．公式的计算精度如何判断？提高计算精度？1()[()4()()]62abffaffb0()()niiiffx一般地例1设积分区间[a,b]为[0,2]，分别用梯形和Simpson公式20()(0)(2)fxdxff201()(0)4(1)(2)3fxdxfff解:梯形公式和Simpson公式的计算结果与准确值比较如下表所示f(x)1xx2x3x4ex准确值222.6746.406.389梯形公式2248168.389辛卜生公式222.6746.676.421xexxxxxf,,,,,1)(432计算时积分结果并与准确值进行比较.定义设求积公式对于一切次数小于等于m的多项式是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m阶代数精度（简称精度）三、代数精度的概念0()()()nbiiaifxdxbafx等价定义设求积公式对于是准确的，而对于是不准确的，则称该求积公式具有m阶代数精度0()()()nbiiaifxdxbafx1mx21,,,,mxxxbabfafabdxxf)()(2)(当f(x)=1时，1(11)2babadxbaba左＝，右＝，左＝右；当f(x)=x时,222211(),()()222babaxdxbaabba左＝右＝当f(x)=x2时,233222211(),()()()322babaxdxbaababba左＝右＝左右.所以梯形公式只有1阶代数精度.例2求梯形公式和Simpson公式的代数精度．解：1.梯形公式，左＝右；2.Simpson公式1(141),6()1babadxbabafx左，右当时，左=右；)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba221(())2baxbfxdxxa当时左，，221(4)()622baababba右，左=右；22331()3()baxdxfxxba左当时，，22222331(4())(222)()6263baabbaabaabbba右，左=右；33441()4()baxdxfxxba左当时，，3333322331(4())((33))6262baabbaabaaababbb右32234431()(),624baaababbba左=右；4()fxx当时，5545babaxdx左，55444422334535(4())()6264245baabbabaabaabababb右，所以抛物线公式具有三阶代数精度．左右.(1)0()()()(),,,nbmiiaifxdxbafxkfabk例3已知0()()()nbiiaifxdxbafx为常数，求求积公式：的代数精度．例4试构造求积公式1011()2((1)(1))fxdxff使其具有1阶的代数精度．0()()()nbkkakfxdxbafx(0,1,2,,)kxkn例5若对于给定的一组求积节点相应的求积公式n至少具有次代数精度，试确定其求积系数．2()1,,,,nfxxxx0()()()nbkkakfxdxbafx解由已知对于，求积公式均成立等式，得：010011110011121(1)!nnnnnnnnnnbaxxxbaxxxban其系数矩阵012220101111nnnnnnxxxxxxxxxk当互异时非奇异,故有唯一解．),,1,0(nkxk000101202000101112121100111()()()()()1()()()()()1()()()()(bnnabnnakkkkknknkxxxxxdxbaxxxxxdxbaxxxxxba001122)1()()()()()babnnnnnnnadxxxxxxdxba()1,()00~,kkkjxxjnjk000()1,()0,1~jxxjn111()1,()0,0,2~jxxjn1()0,1,,bkkaxdxknba--------------插值型求积公式四、插值型求积公式0()()()nbiiaifxdxbafx其中0(),0~njkjkjjkxxxknxx定理n+1个节点的求积公式为插值型求积公式的充要条件是此公式至少具有n次代数精度．0()()()nbaiiifxdxbaxf11()()222babaabbafxdxftdt22abbaxt五、一点注记为简化处理手续，可引进变换,ab1,1将求积区间变到，这时积分第二节牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)公式0()d()()nbkkakfxxbafx定义将积分区间[a,b]划分为n等分,步长求积节点为nabh),,1,0(nkkhaxk若此求积公式至少具有n阶的代数精度，则称此求积公式为n阶的Newton-Cotes公式．01()()(()())bafxdxbafafb()(()())2babafxdxfafbNewtonCotes1n一、公式的导出1．当hba01,xaxb时，，节点为，此时求积公式为具有1阶代数精度，则由代数精度的定义知即为梯形公式即梯形公式为1阶公式．012()()(()()())2baabfxdxbafaffb10121()2((1)(0)(1))fxdxfff00120210221614061136()(()4()())62babaabfxdxfaffbNewtonCotes，，2n2bah012,,2abxaxxb2．，此时求积公式为1,1ab至少具有二阶精度．为简化计算，不妨设,此时求积公式为21,,xx则此求积公式对于应成立等式，得因此求积公式：具有3阶精度，即二阶的111()((1)4(0)(1))3fxdxfff则公式---------Simpson公式3.柯特斯公式当n=4时，,Newton-Cotes公式为)(7)(32)(12)(32)(790)(43210xfxfxfxfxfabdxxfba其代数精度为54bah0,,1,2,3,4ixaxaihi例6分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分的近似值(计算结果取5位有效数字)15.0dxx(1)用梯形公式计算4267767.0]170711.0[25.0)]1()5.0([25.01d15.0ffxx(2)用辛卜生公式]/).(.[.d.xx43093403.0]103866.0411707.0[121(3)用柯特斯公式计算，系数为,,,,]17875.03275.012625.0325.07[905.01d15.0xx1[4.9497525.2982210.3922329.933267]0.43096407180积分的准确值为43096441.032d15.02315.0xxx可见，三个求积公式的精度逐渐提高．0.42677670.43093403例7用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分3321(275)dxxxxI的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)解:辛卜生公式31622()4()149252062633baabIfaffb柯特斯公式317(1)32(1.5)12(2)32(2.5)7(3)90135125273212932792045883Ifffff3220Inklm1{}11,1212{}11,4,1633{}11,3,3,1834{}17,32,12,32,79055{}119,75,50,50,75,1928856{}141,216,27,272,27,216,4184077{}1751,3577,1323,2989,2989,1323,3577,7511728078{}1989,5888,928,10496,4540,10496,928,5888,98928350---9NewtonCotes0101njj02,0jjn()fx,,abn04,0~nkkkn3．公式的基本性质与无关，只与等分数及等分点有关；03NewtonCotes系数可以用待定系数法求出；057nNewtonCotes8n