第28课 圆的弧长和图形面积的计算

第28课圆的弧长和图形面积的计算1．弧长及扇形的面积：(1)半径为r，弧为n°的圆心角所对的弧长公式：________________；(2)半径为r，孤为n°的圆心角所对的扇形面积公式：________________．2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.要点梳理1．弧长及扇形的面积：(1)半径为r，弧为n°的圆心角所对的弧长公式：________________；(2)半径为r，孤为n°的圆心角所对的扇形面积公式：________________．2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.l＝nπr1801．弧长及扇形的面积：(1)半径为r，弧为n°的圆心角所对的弧长公式：________________；(2)半径为r，孤为n°的圆心角所对的扇形面积公式：________________．2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.1．弧长及扇形的面积：(1)半径为r，弧为n°的圆心角所对的弧长公式：________________；(2)半径为r，孤为n°的圆心角所对的扇形面积公式：________________．2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.S＝nπr2360＝12lr2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝________________；(2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝________________；(3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式：θ＝________________．要点梳理(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝________________；(2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝________________；(3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式：θ＝________________．πrlπrl＋πr2rl·360°要点梳理3．求阴影部分面积的几种常见方法：(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法．助学微博一种联系圆锥的侧面是一个扇形，因而其面积是一个扇形的面积，其扇形的半径是圆锥的母线，弧长是底面的周长．在求圆锥侧面积或全面积的时候，常需要借助于它的展开图进行分析，因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非常重要，下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关系．助学微博一种转化最短距离问题，通常借助于展开图来解决．在将立体图形转化为平面图形后，应把题中已知条件转化到具体的线段中，最后构造直角三角形解题．两个技巧(1)求运动所形成的路径长或面积时，关键是理清运动所形成图形的轨迹变化，特别是扇形，需要理清圆心与半径的变化；(2)处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．一种转化最短距离问题，通常借助于展开图来解决．在将立体图形转化为平面图形后，应把题中已知条件转化到具体的线段中，最后构造直角三角形解题．两个技巧(1)求运动所形成的路径长或面积时，关键是理清运动所形成图形的轨迹变化，特别是扇形，需要理清圆心与半径的变化；(2)处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．助学微博三个等量关系(1)展开图扇形的弧长＝圆锥下底的周长；(2)展开图扇形的面积＝圆锥的侧面积；(3)展开图扇形的半径＝圆锥的母线．基础自测1．(2012·湛江)一个扇形的圆心角为60°，它所对的孤长为2πcm，则这个扇形的半径为()A．6cmB．12cmC．23cmD.6cmA解析由扇形的圆心角为60°，它所对的孤长为2πcm可知，n＝60°，l＝2π，根据弧长公式l＝nπr180，得2π＝60πr180，即r＝6cm.基础自测2．(2012·黄石)如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为()A.4π3－3B.4π3－23C.4π3－32D.4π3A解析过点O作OD⊥AB，∵∠AOB＝120°，OA＝2，∴∠OAD＝90°－12∠AOB＝90°－12×120°＝30°，∴OD＝12OA＝12×2＝1，AD＝OA2－OD2＝22－12＝3，∴AB＝2AD＝23，∴S阴影＝S扇形OAB－S△AOB＝120×π×22360－12×23×1＝4π3－3.基础自测3．(2012·嘉兴)已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为()A．15πcm2B．30πcm2C．60πcm2D．3cm2B解析这个圆锥的侧面积＝πrl＝π×3×10＝30πcm2.基础自测4．(2012·衢州)用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是()A.2cmB．32cmC．42cmD．4cmC解析l＝120π×6180＝4πcm，圆锥的底面半径为4π÷2π＝2cm，∴这个圆锥形筒的高为62－22＝42cm.基础自测5．(2012·安徽)为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为()A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2A解析图案中间的阴影部分是正方形，面积是a2，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算．所以，阴影部分的面积＝a2＋12×12a2×4＝2a2.题型分类题型一弧长公式的应用【例1】(2012·德州)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于________．π解析∵△ABC为正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，∴AB＝BC＝AC＝60π×1180＝π3，根据题意可知，凸轮的周长为三个弧长的和，即凸轮的周长＝AB＋BC＋AC＝3×π3＝π.探究提高本题中所求“凸轮”的周长是由三条不同的弧组合而成的，在求每段弧长时，要注意确定每段弧的半径及所对圆心角的度数．题型分类题型一弧长公式的应用知能迁移1如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O＝60°，OA＝1.求O点所运动的路径长．解点O运动路径第一段弧长为90π×1180＝12π；第二段路径的弧长为60π×1180＝13π；第三段路径的弧长为90π×1180＝12π.即点O所运动的路径长为12π＋13π＋12π＝43π.题型分类题型二扇形面积公式的运用【例2】如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65cm，DO＝15cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨刷BD扫过的面积．解在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝14π(OA2－OC2)＝14π×(652－152)＝1000π(cm2)．答：刮雨刷BD扫过的面积是1000πcm2.探究提高阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补．此题可利用图形的割补，把图形△OAC放到△OBD的位置．扇形面积公式和弧长公式容易混淆．S扇形＝n360πR2＝12lR.题型分类题型二扇形面积公式的运用知能迁移2(1)如图，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C、D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于__________．(结果用π表示)256π解析连接CD、OC、OD、BC.∵AC＝CD＝DB＝60°，∴∠ABC＝∠BCD＝30°，∴CD∥AB，∴S△PCD＝S△OCD，∴S阴影＝S△PCD＋S弓形＝S△OCD＋S弓形＝S扇形COD＝60360π×52＝256π.(2)(2012·广东)如图，在□ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是________．(结果保留π)3－π解析过D点作DF⊥AB于点F.∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，∴DF＝AD·sin30°＝1，EB＝AB－AE＝AB－AD＝2，∴阴影部分的面积＝S□ABCD－S扇形ADE－S△EBC＝AB×DF－30π×AD2360－12EB×DF＝4×1－30×π×22360－12×2×1＝4－13π－1＝3－13π.题型分类题型三圆锥【例3】如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不叠合)，求这个圆锥的高．解解法一：∵θ＝r9×360°＝23×360°，∴r＝6.又∵h2＋r2＝l2，∴h＝92－62＝35.解法二：πr×9＝23×π×92，∴r＝6，∴h＝92－62＝35.解法三：2πr＝23×(2π×9)，∴r＝6，∴h＝92－62＝35.解解法一：∵θ＝r9×360°＝23×360°，∴r＝6.又∵h2＋r2＝l2，∴h＝92－62＝35.解法二：πr×9＝23×π×92，∴r＝6，∴h＝92－62＝35.解法三：2πr＝23×(2π×9)，∴r＝6，∴h＝92－62＝35.解解法一：∵θ＝r9×360°＝23×360°，∴r＝6.又∵h2＋r2＝l2，∴h＝92－62＝35.解法二：πr×9＝23×π×92，∴r＝6，∴h＝92－62＝35.解法三：2πr＝23×(2π×9)，∴r＝6，∴h＝92－62＝35.探究提高正确、灵活地运用扇形面积和圆弧周长．圆锥侧面展开图面积的计算公式解题．就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形．知能迁移3现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，求剪去的扇形纸片的圆心角度数．解∵圆锥的母线长为40，底面半径为10，∴圆锥展开图的圆心角＝1040×360°＝90°，∴剪去扇形纸片的圆心角度数＝360°×30%－90°＝108°－90°＝18°.【例4】(2011·贵阳)在平行四边形ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E.(1)圆心O到CD的距离是________；(2)求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留π和根号)题型分类题型四求阴影部分的面积解(1)连接OE.∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD.则OE的长度就是圆心O到CD的距离．∵AB是⊙O的直径，OE是⊙O的半径，∴OE＝12AB＝5，即圆心⊙到CD的距离是5.(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，AB∥CD.∵AB∥CD，OE⊥CD，AF⊥CD，∴OA＝OE＝AF＝EF＝5.在Rt△ADF中，∠D＝60°，AF＝5，∴DF＝AFtan60°＝533，∴DE＝5＋533.在直角梯形AOED中，OE＝5，OA＝5，DE＝5＋533，∴S梯形AOED＝12×(5＋5＋533)×5＝25＋2563.∵∠AOE＝90°，∴S扇形OAE＝90360×π×52＝254π，∴S阴影＝S梯形AOED－S扇形OAE＝25＋2563－254π.答：阴影部分的面积为25＋2563－254π.探究提高点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度；阴影部分的面