1.1.3四种命题的关系

郑平正制作2020/2/21.1.3四种命题的相互关系高二数学选修2-1第一章常用逻辑用语郑平正制作2020/2/2回顾交换原命题的条件和结论，所得的命题是________同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________逆命题。否命题。逆否命题。郑平正制作2020/2/2原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:若p,则q若q,则p若┐p,则┐q若┐q,则┐p观察并填空（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；（1）与（2）互为命题，（1）与（3）互为命题，（1）与（4）互为命题，（2）与（3）互为命题，（2）与（4）互为命题，（3）与（4）互为命题。逆否逆否逆否否逆四种命题之间的关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互逆互否2.互逆互否4.郑平正制作2020/2/2若x∈A，则x∈A∪B。逆命题：否命题：逆否命题：(真)(假)(假)(真)(真)2.四种命题的真假看下面的例子：1）原命题：若x=2或x=3,则x2-5x+6=0。逆命题：否命题：逆否命题：(真)(真)(真)3）原命题：若x∈A∪B，则x∈A。逆命题：否命题：逆否命题：（假）（真）若x2-5x+6=0,则x=2或x=3。若x≠2且x≠3,则x2-5x+6≠0。若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。2）原命题：若a=0,则ab=0。若ab=0,则a=0。若a≠0,则ab≠0。若ab≠0,则a≠0。若xA∪B，则xA。（真）若xA，则xA∪B。（假）郑平正制作2020/2/2四种命题的真假,有且只有下面四种情况:原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假，其它关系不明。在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是0个或2个或4个郑平正制作2020/2/21.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）练一练原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假，其它关系不明。郑平正制作2020/2/22.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若或，则。0m0n0mn220xy（2）若，则x,y全为0。逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0（真）否命题：若m0且n0，则m+n0（真）逆否命题：若m+n0，则m0且n0（假）逆命题：若x,y全为0，则x2+y2=0（真）否命题：若x2+y2≠0，则x,y不全为0（真）逆否命题：若x,y不全为0，则x2+y2≠0（真）郑平正制作2020/2/2原命题与逆否命题同真同假的应用直接判断原命题的真假有困难时，可以间接判断逆否命题的真假。例：判断下列命题的真假（1）若p2+q2=2,则p+q≤2;（2）设a是整数，若a2能被2整除，则a也能被2整除。（3）成才之路跟踪练习3。郑平正制作2020/2/2在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接证明原命题为真命题.──这是一种很好的尝试,它往往具有正难则反,出奇制胜的效果.──它其实是反证法的一种特殊表现:从命题结论的反面出发,引出矛盾(如证明结论的条件不成立),从而证明命题成立的推理方法.总结郑平正制作2020/2/2反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。郑平正制作2020/2/2反证法的步骤：1.假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。2.从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。奎屯王新敞新疆推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).郑平正制作2020/2/2例证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。分析:直接证不好下手.即证明为真命题222,2.pqpq“若则”郑平正制作2020/2/2证明:假设2pq,假设原命题结论的反面成立看能否推出原命题条件的反面成立则2()4pq,∴2224pqpq,∵222pqpq≥,∴222()4pq,∴222pq,∴222pq.尝试成功这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.得证例证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.郑平正制作2020/2/2变式练习1、已知。求证：332pq2.pq这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。解：假设p+q2,那么q2-p,根据幂函数的单调性，得即所以3yx33(2),qp3238126,qppp3328126pqpp216(1),3p332.pq332.pq因此郑平正制作2020/2/2可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾；在证明过程中，推出自相矛盾的结论。郑平正制作2020/2/2这些条件都与已知矛盾0ba所以原命题成立ba证明:假设a不大于b则ab或a=b因为a0,b0所以abaabaabbbaba=ba=b例用反证法证明：如果ab0，那么.ba郑平正制作2020/2/2练圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设弦AB、CD被P平分，∵P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB,OP⊥CD即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，∴弦AB、CD不被P平分。郑平正制作2020/2/2若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,∴a能被2整除.郑平正制作2020/2/2郑平正制作2020/2/2UAA∩BBBack郑平正制作2020/2/2想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？即原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).几条结论: