极值点偏移问题专题――对数平均不等式

1/6极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：，不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题．对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且有，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为．先给出对数平均不等式的多种证法．证法1（对称化构造）设，则，，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平均不等式即，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换）令，则，构造函数可证．证法3（主元法）不妨设，111ln2ee2lnbabaaabbababbababaabbabbbaaaabablnlnababablnln2abababab,,,GabLabAab0lnlnabRablnlnkakbablnlnkaakbblnfxkxxfafb1kfxx0fkfx0,k,kxkfx2ababk22abkabk1atb11lnln2ln2btbtabababbtabt21111lnln21tttttttttab2/6．记，，则，得在上，有，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式）不妨设，则由得，；由得，．证法5（几何图示法）过上点作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得，即；如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得，即．由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．再解例1：即，，则（正lnlnlnln0lnlnabababababababbabalnlnabfaabba,ab2110222abbfaaabaaaabfa,b0fafbab2lnlnln22lnlnlnee1aaaxxbbbdxdxdx2221lnln2baabablnln2ababab222111aaabbbdxdxdxxx211lnlnababbalnlnababab1fxx2,2abab11lnln2ababdxababxlnln2ababab111ln2ababdxababxlnlnababab12fxfx1212eexxxx1122lnlnxxxx12121lnlnxxxx3/6数，的对数平均数为1），于是，得，且．再解例2：即；由得，两式相减得，下面用反证法证明．若，则，，取对数得，则．而由对数平均不等式得，矛盾．再解例3：由得，；．由对数平均不等式得，，得．再解练习1：由得，则，得；1x2x121212xxxx121xx122xx22e10xfxxax22e10xxax120fxfx122112222e12e1xxxaxxax121212122e2e2xxxxaxxxx122xx122xx12122e2e0xxxx12122e2exxxx1122ln2ln2xxxx21121ln2ln2xxxx121221121212222221ln2ln2ln2ln222xxxxxxxxxxxx1122lnlnxxxxm11lnmxx22lnmxx1212121212lnlnlnlnlnlnlnlnmmxxxxmxxxxxx12121212lnlnlnlnlnlnmxxmmxxxxxx12121212lnln0,ln0,ln0lnln2lnlnmxxmmxxxxxx12122lnlnlnxxxx1221exx1122lnlnxaxxax1212110lnlnexxaxxa1212xxa1222exxa4/6，已证．再解例4：同例1，不再详述．再解例5：同例1得到，则．再解例7（2）：易得，则，则，．再解例8：，，得，则，，．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为．即，，则①－②得，则（正数，的对数平均数为1）．于是，，得，且．①＋②得，所以，由此可得．解练习3：选项D：即，则，，所以．2121212122elnln22xxxxaxxxxa121xx121211122xxxx1ln1lnlnln0,1abababab1lnlnabab12ab2ab11222ln2lnxaxxax12122lnlnxxaxx12122lnlnxxxxa1222xxa124xxa121224262xxxxxaaa120fxx0fx2e1exaxalnln1xax1122lnln1lnln1xaxxax①②12121211ln1ln1xxxxxx1212111ln1ln1xxxx11x21x1212111112xxxx12111xx124xx12122lnln112lnxxaxxa1212ln2xxxxa120fxx12fxfx121222lnlnxxxx12122112222lnlnxxxxxxxx121212lnln2xxxxxx12121212124242xxxxxxxxxx5/6顺带地，也有．极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步：（1）根据建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；（3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例．例10设函数的两个零点是，，求证：．证法1：首先易知，且在上，在上，不妨设，，构造函数可证．证法2：由题意得，两式相减得，，，所以1212111212121111122xxxxxxxxxxxx120fxfx1x2x2ln2fxxaxax1x2x1202xxf0afx10,a1a1210xxa121212201022xxxxfaxxa2Fxfxfxa21112222ln20ln20xaxaxxaxax12121212lnln20xxaxxxxaxx121212lnln2xxxxaxxa12121210lnln2xxxxaxxa212121212122012xxaxxaxxaxxa6/6．12121212221002xxaxxxxxxfa