高中数学课件 第六章 第二节 《一元一次不等式及其解法》

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x≠－}ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x1＜x＜x2}∅∅R2．用一个程序框图来表示一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的求解过程：1．设集合A＝，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝()A．{x|－1≤x2}B.C．{x|x2}D．{x|1≤x2}解析：由x2≤1得－1≤x≤1，∴B＝{x|－1≤x≤1}，∴A∪B＝{x|－1≤x2}．答案：A2．不等式3x2－7x＋2＜0的解集是()A．{x|＜x＜2}B．{x|x＜或x＞2}C．{x|－2＜x＜－}D．{x|x＞2}解析：由3x2－7x＋2＝(3x－1)(x－2)知方程3x2－7x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝2，又函数f(x)＝3x2－7x＋2的图象开口向上，所以不等式3x2－7x＋2＜0的解集是{x|＜x＜2}．答案：A3．设二次不等式ax2＋bx＋10的解集为{x|－1x}，则a·b的值为()A．－6B．－5C．6D．5解析：因x＝－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，∴又－1·＝，∴a＝－3，b＝－2，∴a·b＝6.答案：C4．不等式2≤x2－2x8的解集是________．解析：原不等式等价于由x2－2x≥2，得x≥1＋或x≤1－，由x2－2x8，得－2x4，∴原不等式的解集为{x|－2x≤1－，或1＋≤x4}．答案：(－2,1－]∪[1＋，4)5．若a0，则不等式x2－2ax－3a20的解集为______．解析：令x2－2ax－3a2＝0，则x1＝3a，x2＝－a，又∵a0，∴3a－a，∴不等式的解集为{x|3ax－a}．答案：{x|3ax－a}1.解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c0(a0)，ax2＋bx＋c0(a0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小．解下列不等式：(1)－x2＋2x－0；(2)ax2－(a＋1)x＋10(a∈R)[思路点拨][课堂笔记](1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋20，因为30，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋，所以原不等式的解集是{x|1－x1＋}．(2)若a＝0，则原不等式等价于－x＋10⇒x1；若a0，则原不等式等价于(x－1)0⇒x，或x1；若a0，则原不等式等价于(x－1)0.(*)①当a＝1时，＝1，所以不等式(*)解集为∅；②当a1时，1，所以(*)⇒x1；③当0a1时，1，所以(*)⇒1x.综上所述：当a0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为.1.实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时要理清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解．2．不等式应用题一般可按如下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系．(3)解不等式．(4)回归实际问题．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，决定降低税率．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.[思路点拨][课堂笔记]设税率调低后的税收总收入为y元，则y＝2400m(1＋2x%)×(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)．由题意知，0x≤8，要使税收总收入不低于原计划的78%，须y≥2400m×8%×78%，即－m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2，又0x≤8，∴0x≤2，所以，x的取值范围是(0,2].1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．2．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．已知不等式mx2-2x-m+10.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.[思路点拨][课堂笔记](1)不等式mx2－2x－m＋10恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．注意讨论m＝0时的情况．当m＝0时，1－2x0，即当x时，不等式恒成立；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即，则m无解．综上可知不存在这样的m.(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[－2,2]，求参数x的范围．设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，∴，即解①，得x或x，解②，得x.由①②，得x.∴x的取值范围为．若x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥a恒成立，试求a的取值范围.解：法一：令f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞)f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.(1)当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a－1；(2)当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，∴－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.法二：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令f(x)＝x2－2ax＋2－a，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得－3≤a≤1.以选择题或填空题的形式直接考查一元二次不等式的解法或以集合运算为载体考查一元二次不等式的解法是高考对本节内容的常规考法.09年天津高考则以含参不等式的解法为载体，考查了参数取值范围的求解问题，是高考一个新的考查方向.[考题印证](文)(2009·天津高考)若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是________．【解析】不等式可化为(4－a)x2－4x＋1＜0①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以，即0＜a＜4，故由①得＜x＜又＜＜，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以3＜≤4，解得＜a≤.【答案】(](理)(2009·天津高考)设0b1＋a.若关于x的不等式(x－b)2(ax)2的解集中的整数恰有3个，则()A．－1a0B．0a1C．1a3D．3a6【解析】原不等式转化为：[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]0.(1)a≤1，结合不等式解集形式知不符合题意．(2)a1.此时－x，由题意01，要使原不等式解集中的整数解恰有3个．知－3≤－－2.整理得：2a－2b≤3a－3.结合题意b1＋a，有2a－21＋a.∴a3，从而有1a3.【答案】C[自主体验]已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是()A．－1＜b＜0B．b＞2C．b＜－1或b＞2D．不能确定解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝＝1，故a＝2.又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时f(x)为增函数，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.答案：C1．(2010·大连模拟)设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：f(1)＝12－4×1＋6＝3，⇒0≤x＜1或x＞3；⇒－3＜x＜0.所以f(x)＞f(1)的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A2．(2009·山东高考)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)解析：根据题意得：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2，∴解x2＋x－2＜0，得－2＜x＜1.答案：B3．设A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于()A．7B．－1C．1D．－7解析：A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∵A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则B＝[－1,4]．∵－1,4为方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴a＝－(－1＋4)＝－3，b＝－1×4＝－4，∴a＋b＝－7.答案：D4．若关于x的不等式－x2＋2xmx的解集是{x|0x2}，则实数m的值是________．解析：－x2＋2xmx可化为x2＋(2m－4)x0，由于其解集为{x|0x2}，故0,2是方程x2＋(2m－4)x＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m＝2，所以m＝1.答案：15．(2010·开原模拟)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则a∈________.解析：(x－a)⊗(x＋a)＜1，即(x－a)(1－x－a)＜1，整理成x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，Δ＝4a2－4a－3＜0，解得－＜a＜.答案：(－，)6．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)当不等式f(x)0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值．解：(1)f(1)＝－3＋a(6－a)＋b＝－a2＋6a＋b－3.∵f(1)0，∴－a2＋6a＋b－30，Δ＝24＋4b，当b≤－6时，Δ≤0，∴f(1)0的解集为∅；当b－6时，3－a3＋.∴f(1)0的解集为{a|3－a3＋}．(2)∵不等式－3x2＋a(6－a)x＋b0的解集为(－1,3)，∴f(x)0与不等式(x＋1)(x－3)0同解．∵3x2－a(6－a)x－b0的解集为(－1,3)，∴，解之得