2.3.2双曲线的简单几何性质(人教A版选修2-1)

12复习回顾：双曲线的标准方程:)0,0(12222babyax形式一：（焦点在x轴上，（-c，0）、（c，0））1F2F形式二：（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c））其中)0,0(12222babxay1F2F222bac双曲线的图象特点与几何性质?现在就用方程来探究一下!类似于椭圆几何性质的研究.3YXF1F2A1A2B1B212222byax焦点在x轴上的双曲线图像42、对称性一、研究双曲线的简单几何性质1、范围22221,,≥≥≥≤xxaaxaxa即关于x轴、y轴和原点都是对称.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22221(0,0)xyabab另外,22220xyab可知并夹在两相交直线之间.(如图)(下一页)顶点53、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.2A1A2B1B（2）(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.22(0)xymm顶点是12(,0)(,0)AaAa、(下一页)渐近线64、渐近线1A2A1B2Bxyobyxabyxaab利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图(2)渐近线对双曲线的开口的影响(3)双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢?⑴双曲线22221xyab(0,0)ab的渐近线为byxa注:等轴双曲线22(0)xymm的渐近线为yx(下一页)离心率如何记忆双曲线的渐近线方程？75、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比cea,叫做双曲线的离心率.⑵e的范围:ca0e1⑶e的含义:2222()11bcaceaaa∴当(1,)e时,(0,)ba,且e增大,ba也增大.e增大时,渐近线与实轴的夹角增大.同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.另外（4）等轴双曲线的离心率e=?2,反过来也成立.∵222,ceabca⑸在、、、abce四个参数中,知二求二.8XYF1F2OB1B2A2A112222bxay焦点在y轴上的双曲线图像9焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答双曲线标准方程：YX12222bxay0byax双曲线性质：1、范围：y≥a或y≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点B1（0，-a），B2（0，a）4、轴：实轴B1B2;虚轴A1A2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o如何记忆双曲线的渐进线方程？10小结xyoax或axayay或)0,(a),0(axabyxbayace)(222bac其中关于坐标轴和原点都对称性质双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay范围对称性顶点渐近线离心率图象xyo11例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程.可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3焦点坐标为（0，-5）、（0，5）45ace离心率xy34渐进线方程为解：把方程化为标准方程221169yx12例2.4516线和焦点坐标程，并且求出它的渐近出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在，，离心率离是已知双曲线顶点间的距xe思考:一个双曲线的渐近线的方程为:,它的离心率为.xy435543或xy43渐近线方程为)0,10(),0,10(21FF焦点1366422yx解：1322832xy练习(1)：2214xy(2):的渐近线方程为：的实轴长虚轴长为_____顶点坐标为,焦点坐标为_________离心率为_______2xy4280,240,63242244xy的渐近线方程为：2214xy的渐近线方程为：的渐近线方程为：2244xy2xy2xy2xy142231323916xy例：求下列双曲线的标准方程：（1）与双曲线有相同渐近线，且过点，；220332xyyx渐近线方程可化为22094xy设所求双曲线方程为8114294则，解得22222194188xyxy故所求双曲线方程为即2210916xy解：设所求双曲线方程为912916则，2219164xy故所求双曲线方程为22191644xy即14解得292132yx渐近线方程为：且过点，15已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系如果两条渐近线方程为,那么双曲线的方程为当λ0时,当λ0时,当λ=0时,0byax2222byax,这里λ是待定系数共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。双曲线焦点在x轴上双曲线焦点在y轴上即为双曲线的渐近线方程1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为-116（1）顶点间距离为6，渐近线方程为32yx（2）求与双曲线2222xy有公共渐近线，且过点(2,2)M的双曲线方程。练习:求出下列双曲线的标准方程22194yx2241981xy22124yx17（4）双曲线与椭圆2211664xy有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，则双曲线的方程为（）A.2296xyB.22160yxC.2280xyD.2224yx（3）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)，则双曲线方程为（）A.221412xyB.221124xyC.221106xyD.221610xy18课堂练习:2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,－3)且离心率为的双曲线标准方程.21.过点（1，2），且渐近线为34yx的双曲线方程是________.2216955yx22188yx192231322164xy例：求下列双曲线的标准方程：（3）与双曲线有相同焦点，且过点，；3250解：焦点为，，22102020xymmm设所求双曲线方程为184120mm则810m解得或（舍）221128xy故所求双曲线方程为201.求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。解：椭圆的焦点在x轴上，且坐标为），（，，022)022(21FF双曲线的焦点在轴上，且xc22双曲线的渐近线方程为xy33bacabab33822222，而，解出2622ba，双曲线方程为xy2262121关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率1(0)xyabab2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）100yx(a,b)ab2222≥≤yayaxR，或关于x轴、y轴、原点对称(1)ceea渐进线ayxb..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)≥≤xaxayR，或(1)ceeabyxa小结2212byax222（a＞b＞0）12222byax(a＞0b＞0)222ba(a＞0b＞0)c222ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象yXF10F2MXY0F1F2p23渐近线离心率顶点对称性范围准线|x|a,|y|≤b|x|≥a，yR对称轴：x轴，y轴对称中心：原点对称轴：x轴，y轴对称中心：原点（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2be=ac(0＜e＜1)ace=(e1)无y=abx±cax2cax224例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).A′A0xC′CB′By131225(学习课本例4)25.)(,.,,,).(,mmmmm15525131218224到精确此双曲线方程求出适当的坐标系试选择高为下口半径径为上口半为径半它的最小图旋转所成的曲面虚轴其部分绕的一是双曲线塔的外形双曲线型冷却例8221.图26`AABB`C`Cxy8222.图131225O.`||,`||,``,,.,`,,.2252132822BBCCxBBCCxAAxOy且轴都平行于上、下口的直径这时重合圆心与原点轴上在径使小圆的直角坐标系建立直如图解,,0012222babyax设双曲线的方程为.,5525yB的坐标为则点,,yC13的坐标为令点所以在双曲线上因为点,,CB27`AABB`C`Cxy8222.图131225O2112131155122522222222.,byby,,负值舍去得由方程1252by..,,25018150275191551251225122222bbbbb用计算器解得化简得得代入方程.,162514422yx所求双曲线的方程为所以28解：xyl'l..FO.M的距离，则到直线是点设lMd由题意知45||dMFd.45|516|)5(22xyx即两边平方，并化简得：.14416922yx.68的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点M.例5、点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹。516:xl45.191622yx即29双曲线的第二定义：.)1(曲线，则这个点的轨迹是双是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点eacelFM.是双曲线的离心率准线，常数定直线叫做双曲线的定点是双曲线的焦点，e.)0(1222222caxcFbyax，对应的右准线方程是，右焦点，对于双曲线.)0(21caxcF对应的左准线方程是，左焦点cayy2程是：轴上的双曲线的准线方焦点在yl'l..FF’OMd.x30例6：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB分析:求弦长问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.法一:设直线AB的方程为3(3)3yx与双曲线方程联立得A、B的坐标为923(3,23),(,)55由两点间的距离公式得|AB|=163531例6：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法二:设直线AB的方程为3(3)3yx与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0由两点间的距离公式得222212121212212121||()()()()32316()4335ABxxyyxxxxxxxx设A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则1212627,55xxxx*321。已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．【思路点拨】先写出直线方程，代入双曲线方程，利用根与系数的关系判断．33【解】∵