经典模糊控制问题-倒摆

1/18倒摆控制问题经典的倒摆系统，多年来一直是控制理论中的一个令人感兴趣的问题。例倒摆系统简图如例图a所示，设计和分析其模糊控制器。质量m例图a倒摆控制2/18系统的微分方程222/(g)sin()mlddtmlut其中m是摆尖杆的质量，l是摆长，θ是从垂直向上方向的顺时针偏转角。τ=u(t)为作用于杆的逆时针扭矩［u(t)是控制作用］。描述系统的微分方程：质量m例图a倒摆控制3/18状态方程1xdtdx/221/xdtdx)()/1(sin)/(/212tumlxlgdtdxsin21/xdtdx)()/1()/(/212tumlxlgdtdx，当偏转角θ很小时，有，线性化后得：假设为状态变量，状态方程：222/(g)sin()()mlddtmlut4/18离散化模型)()()1(211kxkxkx)()()()1(212kukxkxkx若所测x1用度表示，x2用每秒弧度表示，当取l=g和m=180/(π·g2)时，线性离散时间状态方程可用矩阵差分方程表示：21/xdtdx)()/1()/(/212tumlxlgdtdx线性化模型：此问题中，设上述两变量的论域为－2o≤x1≤2o和－5rad/s≤x2≤5rad/s。5/18第1步：输入量的模糊化第1步：首对x1在其论域上建立三个隶属函数，即如例图b所示的正值(P)、零(Z)和负值(N)。然后，对x2在其论域上亦建立3个隶属函数，即例图c所示的正值(P)、零(Z)和负值(N)。)(1x例图b输入x1的隶属函数NZP-20-1121x)(2x例图c输入x2的隶属函数NZP-20-1122x435-4-3-56/18第2步：输出量的模糊化)(u例图d输出u的隶属函数NZP0u-24NBPB-16-824168第2步：为划分控制空间(输出)，对u(k)在其论域上建立5个隶属函数，－24≤u(k)≤24，如例图d所示(注意，图上划分为7段，但此问题中只用了5段)。7/18第3步：用表1所示的3×3FAM（模糊联想记忆）表的格式建立9条规则(即使我们可能不需要这么多)，在本系统中为使倒摆系统稳定，将用到θ和。表中输出即控制作用u(k)。第3步：建立模糊控制规则表表1FAM表x2x1PZNPPBPZZPZNNZNNB8/18第4步：模糊推理、控制第4步：我们可用表1中规则导出该控制问题的模型。用图解法来推导模糊运算。下面的清晰性初始条件作为模型的初值：x1(0)=1o和x2(0)=-4rad/s。然后，我们在上例中取离散步长0≤k≤3，并用矩阵差分方程式导出模型的四步循环式。模型的每步循环式都会引出两个输入变量的隶属函数。FAM表产生控制作用u(k)的隶属函数。我们将用重心法对控制作用的隶属函数进行非模糊化，用递归差分方程解得新的x1和x2值。k=0之后的每步模型循环式都以前一步的x1和x2为开始，并作为下一步递归差分方程式的输入条件。9/18第4步：模糊推理、控制例图e和例图f分别为x1和x2的初始条件。)(1x例图e输入x1的初始条件NZP-20-1121x)(2x例图f输入x2的初始条件NZP-20-1122x435-4-3-50.51)0(1x4)0(2x0.80.2从FAM表有：IF(x1=P)and(x2=Z)THEN(u=P)μP(u)=min(0.5,0.2)=0.2IF(x1=P)and(x2=N)THEN(u=Z)μZ(u)=min(0.5,0.8)=0.5IF(x1=Z)and(x2=Z)THEN(u=Z)μZ(u)=min(0.5,0.2)=0.2IF(x1=Z)and(x2=N)THEN(u=N)μN(u)=min(0.5,0.8)=0.510/18第4步：模糊推理、控制图g表示了控制变量u的截尾模糊结果的并。具有非模糊化了的控制值的最终形式如图h所示。)(u例图g由规则所得模糊结果的并NZP0u-16-81680.50.2)(u例图h模糊结果的并和非模糊量0u-16-8168u(0)=-21246.414.416161246.414.41246.414.416161246.414.40.5(16)0.5(8)0.2(16)0.50.2441.6(0)0.5(16)0.5(8)0.2(16)0.50.2441.6uuuuuuduududuududuuuuudududududu11/18依次类推，我们利用和作为第二步循环的初始条件，图解说明如例图i和例图j所示。第4步：模糊推理、控制3)0()0()1(211xxx1)0()0()0()1(212uxxx3)1(1x1)1(2x我们已经完成了模型的第一步循环式，现在我们取已非模糊化了的控制变量值（即u=-2），再利用系统方程式找出下步迭代的初始条件。12/18第4步：模糊推理、控制)(u例图k第二步循环的已截尾结果和非模糊输出NZP0u-24NBPB-16-8241680.80.2u(1)=-9.6从FAM表得：IF(x1=N)and(x2=N)THEN(u=NB)μNB(u)=min(1,0.2)=0.2IF(x1=N)and(x2=Z)THEN(u=N)μN(u)=min(1,0.8)=0.8模糊结果的并和所得非模糊输出如例图k所示。非模糊化值u=-9.6。13/18我们得到第三步循环的初始条件和，图解说明如例图l和例图m所示。第4步：模糊推理、控制4)1()1()2(211xxx6.5)1()1()1()2(212uxxx4)2(1x6.5)2(2x)(1x例图l输入x1的第3步循环的初始条件NZP-20-1121x)(2x例图m输入x2的第3步循环的初始条件NZP-20-1122x435-4-3-54)2(1x6.5)2(2x-3-46现用u=-9.6找出第三步循环式的初值：14/18第4步：模糊推理、控制例图n模型的第3步循环的非模糊化输出NZPu-24NBPB-16-8241680u(2)=0)(u从FAM表中得：IF(x1=N)and(x2=P)THEN(u=Z)μZ(u)=min(1,1)=1所得模糊输出结果的并和非模糊输出如例图n所示。非模糊化值u=0。15/18有初始条件和，图解说明如例图o和例图p所示。第4步：模糊推理、控制6.1)2()2()3(211xxx6.1)2()2()2()3(212uxxx6.1)3(1x6.1)3(2x)(1x例图o输入x1的第4步循环的初始条件NZP-20-1121x)(2x例图p输入x2的第4步循环的初始条件NZP-20-1122x435-4-3-56.1)3(1x6.1)3(2x-360.20.80.320.68对下一步迭代来说：16/18第4步：模糊推理、控制例图q模型的第4步循环的非模糊化输出NZPu-24NBPB-16-8241680u(3)=8.84)(u0.68从FAM表有：IF(x1=Z)and(x2=P)THEN(u=P)μP(u)=min(0.2,0.32)=0.2IF(x1=Z)and(x2=Z)THEN(u=Z)μZ(u)=min(0.2,0.68)=0.2IF(x1=P)and(x2=P)THEN(u=PB)μPB(u)=min(0.8,0.32)=0.32IF(x1=P)and(x2=Z)THEN(u=P)μP(u)=min(0.8,0.68)=0.68图解说明如例图q所示，具有非模糊化了的控制值u=8.84。17/18第4步：模糊推理、控制2.3)3()3()4(211xxx64.5)3()3()3()4(212uxxx2.3)4(1x64.5)4(2x如上所述，我们用u=8.84找出下一步迭代的初始条件：在初始条件和作用下，可继续进行第5步循环的计算。…在例图r中画出x1(k)、x2(k)和u(k)的四步循环结果。箭头的长度和方向分别表示摆的运动速度和方向。18/18第4步：模糊推理、控制质量m质量m质量m质量m质量mx1(0)=1，x2(0)=-4，u(0)=-2x1(1)=-3，x2(1)=-1，u(1)=-9.6x1(2)=-4，x2(2)=5.6，u(2)=0x1(3)=1.6，x2(3)=1.6，u(3)=8.84x1(4)=3.2，x2(4)=-5.64，u(4)=?例图r模型的4步循环结果示意图