7新课标高考数学卷第21题函数解答题的解题策略探究

新课标高考数学卷第21题函数解答题的特点及解法探略宁夏回族自治区固原市第二中学张兴宁夏回族自治区固原市回民中学李雪琴摘要：新课标数学卷第21题均为函数综合题。其内容涉及切线、单调极值、求参数范围和证明不等式四大问题。突出考查学生思维的灵活性、敏捷性和数学化归能力。更重要的是这些考查都立足于对通性通法考查的基础之上。本文主要探究解题中的通性通法。关键词：切线;单调性与极值;参数;不等式;解题策略函数是高中数学的重要内容,其观点和方法贯穿了高中数学的全过程。因此函数知识可以有效的承载中学数学核心素养，所以新课标高考试题无一例外，每年的压轴题均为函数综合题。在高考所有数学内容中对函数知识和能力的要求是最高的，所以对函数压轴题的深入研究，既有利于培养学生的数学综合素养，又有利于做好高中数学教学工作。笔者就近十年函数压轴题统计表如下：项目（文科）07年08年09年10年11年12年13年14年15年16年ⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅢ切线问题单调极值求参数不等式（恒）项目（理）07年08年09年10年11年12年13年14年15年16年ⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅢ切线问题单调极值求参数不等式（恒）通过对表格的分析、归类我们会得到以下几点（1）考察内容涉及切线、单调极值、求参数范围和证明不等式四大问题，基本上每年都是四选二。（2）文科以单调极值为主，切线、求参数次之，涉及不等式的比较少。理科以求参数范围为主，单调极值、不等式问题次之，切线问题涉及比较少。（3）通过对比、分析，就会发现通性通法与灵活化归是解题的主要策略。一、切线问题例【1】〖2014理Ⅰ（21）〗设函数)(xf1(0lnxxbefxaexx，曲线()yfx在点（1，(1)f）处的切线为(1)2yex.(Ⅰ)求,ab；【解析（1）】∵112ln)('xxxexbexbxexaxaexf又∵切点（1,b）∴斜率k=)1('fae∴切线方程：y-b=ae(x-1)又∵切线为(1)2yex∴eaeb212ab例【2】〖2015理Ⅰ（21）〗已知函数f（x）=31,()ln4xaxgxx.(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；【解析（2）】（Ⅰ）∵axxf23)('设曲线()yfx与x轴相切于点0(,0)x，axfkx203)('则0()0fx，0()0fx，即3002010430xaxxa，解得013,24xa.∴当34a时，x轴是曲线()yfx的切线.例【3】已知曲线方程为2xy，求过B(3,5)点，且与曲线相切的直线方程．【解析（3）】∵xxf2)('设切点（a,b）∴斜率k=axf2)('切线方程：)(2b-yaxa又∵(3,5)在切线上，∴)3(2-5aaa∴251或a∴4251或b∴切点坐标（），）或（，4252511故切线方程：)1(21-yx或者)425(225-yx【评析】从数量上看，近十年文、理30套题中出现考察切线问题的共有13个，对知识和能力的考察属于中等层次，都在第一问。主要针对导数的几何意义，涉及过函数表示曲线上某一点的切线，大多数与求参数值结合在一起。观察上述三个小题就会发现其解答过程，代表着知识的形成过程，也复合学生的认知规律。其核心步骤为求导数、写切点（有则写，无则设）、求斜率、写切线、有字母则需列方程和解方程。在这类题的各种解法中，或许有更加简捷的方法，但这种步骤是最基础、最具有普适性的方法。练习：〖2016文（20）〗已知函数()(1)ln(1)fxxxax.（I）当4a时，求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；二、函数的单调性、极值、最值例【4】〖2007文（19）〗函数2()ln(23)fxxx.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）求()fx在区间31[,]44的最大值和最小值.【解析（1）】（Ⅰ）()fx的定义域为3(,)2.224622(21)(1)()2232323xxxxfxxxxx当121032)1)(122)('xxxxxxf或时，（所以()fx分别在区间3(,1)2，1(,)2单调增加，在区间1(1,)2单调减少.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()fx在区间31[,]44的最小值为11()ln224f.又313971()()lnln44216216ff0所以()fx在区间31[,]44的最大值为117()ln4162f.例【5】〖2015文21〗已知函数()ln(1)fxxax。（1）讨论的()fx单调性；x3(,1)2-11(1,)2211(,)2)('xf+—+)(xf增减增【解析（2）】（1）：()fx的定义域(0,+)∴axxf1)('∴当0-11)('xaxaxxf时，01ax①时，没有拐点，当0a)('xf〉0,∴()fx定义域(0,+)单调增函数。②，时，〉当axa10x)1,0(aa1)1(，a)('xf+—)(xf增减∴()fx定义域(0,+a1)单调增函数，(a1,+)单调减函数。③时，〈当0a01)('〉axxf∴()fx定义域(0,+)单调增函数。综上所述，时，当0a()fx在(0,+)单调增函数，时，〉当0a()fx在(0,+a1)单调增函数，()fx在(a1,+)单调减函数。【评析】关于函数单调性、极值、最值问题，近十年文、理30套题中共出现了17个，几乎全部都在第一问。其中不含有参数函数的单调性、极值、最值，共有12道题。含有参数函数的单调性、极值、最值共5道题。例（4）是不含有参数的单调极值问题，解答的基本步骤是求定义域、求导数、求拐点、列表、回答单调与极值的结果。例（5）是含有参数的单调极值问题，在求拐点时，需要根据参数的取值讨论拐点个数，然后按拐点特征进行分类，其解答的基本步骤依然是域（定义域）、导（导数）、拐（拐点）、表（列表）、答（回答）。这类题的第一个难点是何时讨论参数？由于题目条件的不同，有的在求零点时讨论参数个数；有的在列表时讨论参数大小。第二个难点是如何讨论参数的取值？简单一点的根据参数本身的特征，比如分式的分母不为零等，复杂一点的需要根据题目的条件，参考自变量的取值范围进行讨论，关键是要做到不重不漏。练习：〖2016文1（21）〗已知函数)1()2()(2xaexxfx.(I)讨论()fx的单调性；三、求参数范围例【6】〖2010文（21）〗设函数()(1)afxxxax（Ⅰ）若a=12，求()fx的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时()fx≥0，求a的取值范围【解析（1）】（Ⅱ）法一：图像法，当x≥0时()fx≥00)1(axxex（其中x≥0）01axex（其中x≥0）01axex（其中x≥0）axex1（其中x≥0）设axyeyx112（其中x≥0）则图像的上方图像在yy21，两个图像都通过（0，1），只需图像的上方图像在）处的切线，在（yy2101又因为eyx1在（0，1）处的切线方程是：1xy所以axx11所以]1,(1aa即【解析（1）】（Ⅱ）法二：求参数讨论参数，部分肯定部分否定法。由题x≥0时()fx≥0，即()(1)afxxxax≥0令()1agxxax，则'()xgxea。若1a，则当0,x时，'()gx，()gx为减函数，而(0)0g，从而当x≥0时()gx≥0，即()fx≥0.∴1a适合题意。当a'()xgxea=0axln则当0,lnxa时，'()gx，()gx为减函数，而(0)0g，从而当0,lnxa时，()gx＜0，即()fx＜0.∴a不合题意，舍去。x)ln,0(aaln)(ln，a)('xg—+)(xg减增oexy1xyxy01综合上述两种情况得a的取值范围为,1例【7】〖2009文（21）〗已知函数3223()39fxxaxaxa.（1）设1a，求函数fx的极值；（2）若14a，且当1,4xa时，)('xf12a恒成立，试确定a的取值范围.【解析（2）】化为不等式恒成立求参数，用分离参数求最值法。（Ⅱ）∵14a，且当1,4xa时，)('xf12a恒成立14a，且当1,4xa时，axaf1212-'）（恒成立∴14a，且当1,4xa时，axf12min）（‘,且axfman12）（‘故只需求14a，且当1,4xa时）（‘xf的最大值与最小值。∵'22()369fxxaxa=aax2212)3（,他的图像是关于ax对称的抛物线，①若'11,()4afx则在[1,4a]上是增函数，aafxf29631''min）（）（aafxf2154''max）（）（∴.'2'2(1)36912,(4)1512.faaafaaa且由''14(1)121,(4)120.35faafaaa得由得所以11414(,1][,1][0,],(,].43545aa即②若1a,则'2'|()|1212.[1,4]|()|12faaaxafxa故当时不恒成立.所以1a不合题意舍去。综上所述使'|()|12([1,4])fxaxa恒成立的a的取值范围是14(,].45例【8】已知函数f(x)＝a(x2＋1)＋lnx。(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)＞a2成立，求实数m的取值范围。axxy01a4【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)。由已知，得f′(x)＝2ax＋1x＝2ax2＋1x(x＞0)。①当a≥0时，恒有f′(x)＞0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数。②当a＜0时，若0＜x＜－12a，则f′(x)＞0，故f(x)在0，－12a上是增函数；若x＞－12a，则f′(x)＜0，故f(x)在－12a，＋∞上是减函数。综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a＜0时，f(x)在0，－12a上是增函数，在－12a，＋∞上是减函数。(2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)＞a2成立，等价于ma－a2＞f(x)max。因为a∈(－4，－2)，所以24＜－12a＜12＜1。由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a。所以ma－a2＞2a，即m＜a＋2。因为a∈(－4，－2)，所以－2＜a＋2＜0，即m≤－2。所以实数m的取值范围是(－∞，－2]。【评析】函数解答题中求参数范围问题，近十年文、理30套题中共出现了11个，全部都在第二问。这种类型题从条件上看大多为指数型函数的混合函数或复合函数，都是在给定未知数x取值范围的条件下，在一个不等式中求参数的范围。由上面3个小题可知已知，求参数的取值范围问题有三种解法，第一图像法如例（6）解法一，其基本步骤是分离函数式（一边化为指数式另一边化为代数式）、构建函数、做出函数图像、根据图像位置建立新的不等式、解不等式。第二讨论参数法如例（6）解法二，其基本步骤是求函数定义域、求导数、求拐点、列表、利用单调性建立新的不等式、化简不等式确定参数的范围。第三分离参数法如例（7），其基本步骤是利用公式)()(maxxaxfaf把不等式恒成立化为函数最值问题、利用函数单调性求最值、利用建立新的不等式、解不等式求参数。综上可知解答参数问题时首选分离参数法，能直接分离参数的直接分离参数如例例（6），不能直接分离的考虑能否分离含有参数的代数式如例例（7）。其次考虑能否使用图像法，关键在于能否分离代数式和指（对）数式，构造函数做出图像如例（6）