第十四章学案1复数的有关概念

进入学案1复数的有关概念考点一考点二考点三1.（1）若i为虚数单位，规定①i2=;②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立.（2）形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，a,b分别叫做复数的.若b=0,则复数a+bi为；若b≠0，则复数a+bi为；若b≠0，且a=0时，则复数a+bi为.-1实部、虚部实数虚数纯虚数返回目录（3）若a,b,c,d∈R，则a+bi=c+di的充要条件是.（4）若a,b,c,d∈R，则a+bi与c+di为共轭复数的充要条件是.2.（1）建立直角坐标系来表示复数的平面叫，叫做实轴，叫做虚轴.（2）复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点建立了关系.一一对应a=c且b=da=c且b=-d复平面x轴y轴返回目录考点一复数的概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）互为共轭复数的两复数之差为纯虚数；（2）复数x1+y1i与x2+y2i相等的充要条件是：x1=x2且y1=y2;（3）设m∈R，m与mi对应，则从实数集到纯虚数集的映射是一一映射；（4）任何数的偶次幂都不小于0.返回目录【分析】应用复数的基本概念去判断.【解析】（1）是假命题.因为当z=a(a∈R)时,z=a,则z-z=0,不是纯虚数.应有以下结论：互为共轭复数的两数之差为纯虚数或0.（2）是假命题.因为没有说明x1,y1,x2,y2均是实数，所以x1,x2未必是实部，y1,y2未必是虚部，不符合复数相等的充要条件.（3）是假命题.因为m=0时，则0为实数，不属于纯虚数集，所以0在纯虚数集中没有象.（4）是假命题.当b∈R且b≠0时，纯虚数bi的平方(bi)2=-b20.返回目录【评析】应用复数的概念，一定要注意复数的基本形式a+bi，其中易忽视a,b∈R这一条件.返回目录＊对应演练＊下列四个命题中正确的个数为（）①满足的复数有±1,±i;②若a,b∈R且a=b,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数；③复数z∈R的充要条件是z=z；④复平面内x轴是实轴，y轴是虚轴.A.0个B.1个C.2个D.3个C(±i不满足，故①错；当a=b=0时，(a-b)+(a+b)i是实数,故②错；③④正确.故应选C.)z1zz1zC返回目录考点二复平面【例2】当实数m为何值时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面中的对应点(1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.【分析】对于0b0a)2(0b0a)1(应满足应满足返回目录【解析】028m3m015m8m)2(22由已知②①由②得m=-7不适合①,m=4适合①,所以m=4.3m74m75m3m028m3m015m8m)1(22或由已知【评析】复数z=a+bi(a,b∈R)).b,a(Z返回目录＊对应演练＊复数，求实数m，使得（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z所对应的点在复平面的第二象限；（4）z是复数.15)i-2m-(m3m6-m-mz22返回目录实部为虚部为m2-2m-15=(m+3)(m-5).(1)要使z为实数，则(m+3)(m-5)=0m+3≠0，m=-3或m=5m≠-3.∴当m=5时，z是实数.3m3)-2)(m(m3m6-m-m2即返回目录（2）要使z为纯虚数，则m=-2或m=3m≠-3或m≠5.∴当m=-2或m=3时，z是纯虚数.05)-3)(m(m03m3)-2)(m(m即返回目录（3）由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条件知m-3或-2m3m5或m-3.∴m-3.∴当m-3时，z所对应的点在第二象限.（4）要使z为复数，则∴当m≠-3时，z为复数.05)-3)(m(m03m3)-2)(m(m即R5)-3)(m(mR3m3)-2)(m(m返回目录考点三数形结合思想在复数中的体现【分析】结合平面解析几何的知识,将其转化为斜率问题求解.【例3】虚数(x-2)+yi其中x,y均为实数,当此虚数的模为1时,的取值范围是()xy3,00,3.D3,3.C33,00,33.B33,33.A13x0y返回目录【解析】设则k为过圆(x-2)2+y2=1上的点及原点的直线斜率,如图所示,又.故选B0y1y)2x(22xyk)0y(,3331k0k,0y返回目录【评析】解决与复数的基本概念和性质有关的题目时,要充分利用使它们成立的充要条件,同时注意复数和实数的区别与联系.数的概念扩充到复数后,实数集中的一些运算性质在复数集中不一定成立.解决复数问题的关键是利用复数的有关概念和复数相等的充要条件把复数问题实数化.返回目录＊对应演练＊已知复数z满足z=y+(x2+y2-1)i且则点(x,y)的轨迹为()A.圆B.半圆C.射线D.无法确定)Ry,x(0z由得为实数,从而得且x2+y2-1=0,故选B.0z0y返回目录返回目录1.注意复数的代数形式z=a+bi中a,b∈R这一条件,否则a,b就不一定是复数的实部与虚部.2.复数是实数的扩充,两个实数可以比较大小,但若两个复数不全为实数,则不能比较大小,在复数集里,一般没有大小之分,但却有相等与不相等之分.3.熟悉扩充后,数的概念由实数集扩充到复数集,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了,如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.返回目录4.对于z·z=|z|2=|z|2,是复数运算与实数运算相互转化的主要依据,也是把复数看作整体进行运算的主要依据,在解题中要注意加以运用并逐渐体会.5.注意实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别与联系.实数集与虚数集都是复数集的真子集,它们的并集是复数集,它们的交集是空集,纯虚数集是虚数集的真子集.这些集合之间的关系可以用图表示.