概率论及数理统计全解

大学数学4——概率论及数理统计一、《概率论与数理统计A》教学指导性意见三、历年试题考点及其分值二、各章节知识点四、题型展示教学要求的程度，对于概念和理论方面，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述，对于方法、运算和能力方面，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。2012级理工科通识教育平台数学核心课程《概率论与数理统计A》教学指导性意见1．理解随机事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与基本运算。2．理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性和概率的统计定义。3．理解古典概型的概念，知道概率的公理化定义。4．掌握概率的基本性质和加法公式。会运用这些性质进行概率计算。5．理解条件概率的概念。掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯（Bayes）公式，并会运用这些公式进行概率计算。6．理解事件独立性的概念。会运用事件的独立性进行概率计算。7．了解伯努利（Bernoulli）概型的概念。掌握二项概率的计算。一、随机事件及其概率（第一章）1．了解随机变量的概念。掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法。理解概率分布（分布列）和概率密度函数的概念和性质。2．理解分布函数的概念和性质。3．会利用概率分布计算与随机变量相联系的事件的概率。4．熟练掌握二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、指数分布和正态分布。5．了解随机变量函数的概念，会求简单的随机变量函数的概率分布。二、随机变量及其分布（第二章）1．了解多维随机变量的概念。了解二维随机变量的联合分布函数、联合概率分布（分布列）、联合概率密度函数的概念和性质，并会利用二维概率分布计算有关事件的概率。2．掌握二维均匀分布和二维正态分布的联合概率密度函数。3．了解二维随机变量的边缘分布的概念和性质，掌握二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系。4．理解随机变量独立性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件，并会运用随机变量的独立性进行概率计算。了解条件分布的概念。5．了解随机向量函数的分布的概念，会求简单的二元随机变量函数的分布。三、随机向量及其分布（第三章）6．了解卡方分布、t分布、F分布的定义，知道卡方分布、t分布、F分布的性质.1．理解数学期望、方差的概念，掌握期望和方差的性质，掌握期望和方差的计算。2．会利用随机变量的概率分布求其函数的数学期望，会利用二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。3．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。4．了解协方差和相关系数的概念，知道随机变量的相关性，掌握协方差和相关系数的性质和计算。知道矩的概念。（第五节第二目“随机向量的协方差矩阵”不作要求）四、随机变量的数字特征（第四章）1．了解切比雪夫不等式，知道切比雪夫大数定律和伯努里大数定律。2．知道列维（Levy）-林德贝格（Lindberg）定理和德莫佛（DeMoivre）-拉普拉斯（Laplace）定理，会运用正态分布近似计算二项概率。五、大数定律和中心极限定理（第五章）1．理解总体、简单随机样本和统计量的概念。了解频率直方图的作法，掌握样本均值和样本方差的计算。2．了解正态分布、分布、分布、分布的分位数的概念并会查表计算。3．了解正态总体的某些常用的抽样分布。六、数理统计的基本概念（第七章）1．理解参数的点估计、估计量和估计值的概念。2．掌握矩估计法（一阶、二阶）和最大似然估计法。3．了解估计量的无偏性、有效性和一致性概念，并会验证估计量的无偏性和比较估计量的有效性。4．理解区间估计的概念。掌握单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。七、参数估计（第七章）1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，知道假设检验可能产生的两类错误。2．掌握单个正态总体的均值和方差的双边和单边检验。会进行两个正态总体的均值和方差的双边和单边检验。（第四节“非参数检验方法”不作要求）八、假设检验（第八章）熟练掌握事件之间的关系与基本运算。掌握概率的基本性质和加法公式。掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯（Bayes）公式。掌握二项概率的计算。掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法。熟练掌握二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、指数分布和正态分布。1.2.掌握二维均匀分布和二维正态分布的联合概率密度函数。掌握二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系。掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。掌握期望和方差的性质，掌握期望和方差的计算。3.4.掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。掌握协方差和相关系数的性质和计算。掌握矩估计法（一阶、二阶）和最大似然估计法。掌握单个正态总体的均值和方差的置信区间掌握假设检验的基本步骤掌握单个正态总体的均值和方差的双边和单边检验。掌握样本均值和样本方差的计算。7.8.第一章1.样本空间一、2.随机事件的表示二、概率的计算随机事件及其概率第二章随机变量及其分布离散型连续型（有限或无穷可列）分布律分布函数X~B（n,p）X~p()X~G(p)X~B（1,p）P34~37f(x)F（x）均匀分布正态分布指数分布E(X),D(X)X~U（a,b）X~E（）X~N（,）20-1分布（两点分布）二项分布泊松分布几何分布求P39~41求分布密度分布函数法公式法详见P52、53即先求分布函数，再对分布函数求导P53例3、P55例5均给出了两种方法第三章随机向量及其分布离散型连续型f(x,y)F（x，y）X,Y的边缘分布离散型连续型：X取谋值，把Y所有对应的值相加独立性Z=g(X,Y)离散型连续型：Z取谋值，把X、Y所有对应的值相加：Z=X+YdyyxfxfX),()(dx)y,x(f)y(fYyx判断第四章E(X)D(X)Cov(X,Y)XY定义及相关性质（1）数字特征（2）求算E(X)D(X)Cov(X,Y)XY期望方差第五章重在理解中心极限定理独立同分布二项分布的正态近似切比雪夫不等式大数定律证大数定律（证明题）大数定律和中心极限定理niiXnXn12211第七章样本的两个特性代表性独立性常用的统计量样本平均值niiXnX11样本方差niiXXnS122)(11样本标准差niiXXnS12)(11样本k阶原点矩nikikXnA11样本k阶中心矩nikikXXnB1)(1分位点图形2分布t分布F分布定义详见P92、93、94抽样分布分布2).(~,)1,0(,,,2221221nnXNXXniin记为分布的服从自由度为则称随机变量，且均服从正态分布相互独立设t分布).(~),(~)1,0(~2ntttnnYXtYXnYNX分布，记为的服从自由度为随机变量相互独立，则称与且，设F分布).,(~,,),(~)(~2121212212nnFFnnnVnUFVUnVnU记为）的分布服从自由度为（随机变量相互独立，则称与，设抽样分布定理样本均值的分布).,(~,,),(~212nNXXXXXNXn有则样本均值的样本，是来自总体，设样本方差、均值的分布方差，则有分别是样本均值和样本的样本，是来自总体设221,),(,,SXNxXn)1(~)1()1(222nSn.)2(2独立与SX)1(~)3(ntnSX两总体样本均值差、样本方差比的分布22111222222~(1,1)SFnnS、12122211221212()1~(2)(1)(1)112XYtnnnSnSnnnn、参数估计点估计区间估计(4)在最大值点的表达式中,用样本值代入就得参数的最大似然估计值.求最大似然估计的一般步骤是：(1)写出总体的概率分布;(2)写出似然函数L();(3)解似然方程，其解即为的最大似然估计；0)(lndLdθ估计量的评选标准无偏性有效性一致性)ˆ(ElimP{}=1n8v_12D()D()则较有效12，区间估计（5种）相关例题P189~195构造待估参数的样本函数查分位点求算置信区间（1）（2）（3）步骤详见P188第八章假设检验①提出假设②写出检验统计量③查分位点，得拒绝域④算出统计量的观察值⑤比较，作出判断历年试题考点及其分值07年试题事件关系、概率及其运算性质3+3+3随机样本的两个特点3正态分布的概率（查表）3比较无偏估计量的有效性3求分布函数3泊松分布3求相关系数3检验统计量的选用3条件概率10确定常数、求分布函数、求某区间上的概率10求E（X）、E（Y）、Cov(X,Y)10已知X，求Y=X2服从的概率密度6最大似然估计量8边缘概率密度函数、判断独立性、求某区域上的概率10假设检验8置信区间808年试题事件关系、概率及其运算性质3+3+3+7离散型概率分布3二项分布3期望、方差、相关系数3+3+3比较无偏估计量的有效性3由相关系数、Cov(X,Y)，判断独立性3统计量的定义3统计量服从的分布3切比雪夫不等式3由E（X）、D（X）判断X服从的分布3假设检验的错误类型3求离散型随机变量的分布、E（X）、D（X）8确定常数、求分布函数、求某区间上的概率8矩估计、最大似然估计量8（二维离散型）X、Y的边缘分布、X+Y的分布8假设检验8置信区间809年试题事件关系、概率及其运算性质3+3+3确定常数3概率密度3离散型随机变量分布律3期望、方差3+3已知服从的分布，求某区域上的概率3比较无偏估计量的有效性3求拒绝域3几何分布的概率3+3分布函数的性质3切比雪夫不等式3已知X、Y，判断Z=X+Y服从的分布3条件概率8分布函数、求某区间上的概率8已知X、Y，求Z=X+Y服从的密度函数8最大似然估计量6确定常数、边缘概率密度函数、判断独立性10假设检验6置信区间611年12月试题事件关系、概率及其运算性质3+3+3+8已知正态分布的概率密度f(x)，求D(X)3泊松分布3正态分布某区间上的概率3P（max(X,Y)0）3已知X、Y，求X-3Y服从的分布3无偏估计量的条件3D（S2）3已知X的概率密度，求某区间上的概率3已知D（X）D（Y）ρXY，求D（2X-Y+1）3Z=max(X,Y)的分布3判断统计量服从的分布3样本均值Y、随机变量X1，求Cov(X1,Y),D(X1±Y)3由概率密度曲线确定常数，求出X的概率密度，某区间上的概率8已知联合概率密度，确定常数，求Cov(X,Y)，判断X与Y的相关性10已知联合概率密度，边缘密度函数fX(x)、fY(y),求Z=2X-Y的概率密度12矩估计、最大似然估计10假设检验72012年试题事件关系、概率及其运算性质3+3+3+3+8标准正态分布的概率（查表）3离散型随机变量分布律3+3无偏估计量3概率密度3方差、协方差3+3置信区间3由独立性，求概率3判断统计量服从的分布3概率分布、概率计算10连续型随机变量之和的分布3+10参数的矩估计量、最大似然估计量10确定常数、边缘概率密度函数、判断独立性10假设检验7课程中心模拟试题1事件关系、概率及其运算性质3求分布函数3随机变量服从分布的判别3切比雪夫不等式3求μ区间估计时，选用的分布3确定常数3几何分布的期望3已知分布密度求期望3求具备无偏性、优效性和一致性的估计量3矩估计3已知X、Y（正态分布），求Z=2X-Y+3的概率密度8边缘分布、判断独立性、分布律8已知X的分布函数，确定常数，求某区间上的概率，X的概率密度8已知X、Y，求Z=X+Y的概率密度8最大似然估计量8假设检验10+10条件概率10课程中心模拟试题2事件关系、概率及其运算性质3+3已知联合分布函数，求某变量的边缘分布函数3确定常数3条件概率3D（X）、E（X）、Cov(X,Y)3+3+3二项分布3有效估计量的条件（P184）3比较无偏估计量的有效性5分布律7条件概率7已知X，求Y=eX的概率密度7具体事件的概率7+8已知D（X）、E（X），相