立体几何中的向量方法求空间角

空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,与的关系？CDAB思考：,与的关系？DCAB结论：|cos,|ab一、线线角：ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb•如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.•设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)，E，)0,23,21(2222422121,cosDBAEDBAEDBAE3xyz2nBA，直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,设平面的法向量为，则与的关系？nnBA思考：结论：sin|cos,|nAB二、线面角：nnBAAB2nBA，1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于A．120°B．60°C．30°D．60°或30°•解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.•答案：C•如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，AM⊥PD于点M.•求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．xyz•利用向量法求线面角的方法：•(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；•(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中l,,,ABlABCDlCDcoscos,ABCDABCDABCDDCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范围：[0,]ll三、面面角：二面角的范围：[0,]②法向量法1n1n2n2n12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn【注意】法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。12nn，12nn，•已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1，M、N分别是A1B1、BC的中点．•求二面角M－AN－B的余弦值．xyz解：设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，∵AM→＝(0，1，2)，AN→＝－12，1，0，由AM→·n＝0，AN→·n＝0，得0＋y＋2z＝0，－12x＋y＝0.解得平面AMN的一个法向量n＝(4，2，－1)．由题意知，平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)．∴cos〈m，n〉＝m·n|n||m|＝－121×1＝－2121.∴二面角M－AN－B的余弦值是2121.•求二面角最常用的方法•(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．•(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．•以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题．1.异面直线所成角：cos|cos,|ab2.直线与平面所成角：sincos,nAB||ABCD1DABOnabanlcoscos,ABCDABCDABCDDCBA①方向向量法：3.二面角：②法向量法：【注意】法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。