清华大学量子力学讲义Lecture14[1]

13.系综与密度算符1）纯系综和混合系综相同的物理体系构成系综，例如由具有自旋的粒子构成的系综。一个自旋为1/2的粒子的自旋态（方位角,）/2/2(,)(,)(,)cossin22iiccee，其中,是ˆzs的本征态，cos(/2)sin(/2)icce。如果所有粒子的自旋都取相同方向，则称体系是极化系统，构成的系综是纯系综。如果粒子的自旋不在同一方向，则构成的系综叫混合系综。例如自旋向上的粒子数占70％，自旋向下的粒子数占30％，体系是部分极化。一个自旋方向完全随机的系综，其自旋向上，向下的几率各有50％，整的表现是相互抵销，自旋为零，完全没极化。2）系综平均与态密度算符系统的力学量平均值ˆAA，这里态是固定的，是量子平均。进入任意表象B，,'ˆ''bbAbbAbb，对表象的维数求和。系综平均AwA，这里w是体系处于态的几率，显然满足归一化条件1w，是统计平均，求和指标不是对表象的维数，而是对态。例如自旋1/2的粒子构成的系综，自旋表象的维数为2，但不同粒子的自旋态可以有很多取向，求和就是对不同的取向。2,,','ˆˆ''''bbbbAwbbAbbwbbbAb。定义态密度算符ˆw，它在表象B的矩阵元'ˆ''bbbbwbb，,'ˆˆˆˆˆˆ''bbbAbbbAbbAbtrA。这是量子统计力学的基本公式。注意：表象变换不改变矩阵的求迹，上式不依赖于表象的选取。在连续表象，例如坐标表象，密度算符的矩阵元*'ˆ''()(')xxxxwxxwxx，系综平均3ˆˆˆˆAtrAdxxAx。密度矩阵满足归一化条件,,ˆ1bbtrwbbwbbww完备性条件态的量子归一化条件态的统计归一化条件这里用到了归一化条件1和表象的完备性条件1bbb。设密度算符ˆ的本征态为，22ˆ,ˆˆ＝。对于纯系综，所有系统都取同一个态n，321,0ˆˆˆ,,nwnnnnnnnnn2,0,1。如果取表象中的一个基矢与态n同方向，则纯系综的密度矩阵在该表象为'''bbbnbnbnnb，是一个对角矩阵，只有一个矩阵元＝1，其它矩阵元＝0：0...1...0对于完全混合系综，由于取各个态的几率相同，01/wwN，N是状态数，''111'''bbbbwbbbbbbNNN密度矩阵是一个单位矩阵1...11...1N。例题1：完全极化系统的密度矩阵。假设完全极化态为ˆzs的本征态，ˆ，在zs表象，是一个2X2的矩阵，1,0,0,0,1000。4如果完全极化态是ˆxs的本征态11,22xsˆxxss，在zs表象，1/2,1/2,1/2,1/2,xxxxxxxxssssssss111112。例题2：完全不极化系统的密度矩阵。11ˆ2,,22N在zs表象，1/2,0,0,1/2,101012，表明在完全混合系综中密度矩阵是一个单位矩阵。在完全不极化系综中的平均值显然相互抵销，等于零：1ˆˆˆ2iiistrstrs，代入自旋矩阵,,xyzsss，有0is。例题3：部分极化系统的密度矩阵。设31ˆ,44xxss在zs表象，7/8,1/8,1/8,1/8,/8,0,3/8.xyzsss53）系综的演化态密度算符如何随时间演化？如果体系的哈密顿量不随时间变化，态的几率分布w不随时间变化。设ˆ(),,twtt，由态的时间演化ˆ,,,ˆ,,,itHttittHt有ˆˆˆ,,,,ˆˆ,iwHttttHtH这就是密度算符的时间演化。虽然类似于Heisenberg绘景中力学量的运动方程，只差一个负号，但ˆ不是力学量算符，而是Schrodinger绘景中由态构成的算符。