圆的最值问题

知识复习圆的定义及方程定义平面内与的距离等于的点的集合(轨迹)标准方程_____________________(r0)圆心：，半径：__一般方程_____________________(D2＋E2－4F0)圆心：，半径：－D2，－E212D2＋E2－4Fx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2定长定点(a，b)r三角形和四边形内接于圆•1、不共线的三个点内接于唯一一个圆，外接圆圆心是三边垂直平分线交点•2、四边形和内接圆•（1）、不是所有四边形有内接圆•（2）、判断方法：•方法一、由三点求出圆的方程，再代入第四点判断•方法二、对角和为180的四边形有外接圆对称问题•1.点关于原点的对称点为;•2.点关于点的对称点为;•3.点关于x轴的对称点为;•4.点关于y轴的对称点为;•5.点关于y=x的对称点为;•6.点关于y=-x的对称点为;•7.点关于x=m的对称点为;•8.点关于y=n的对称点为;(,)ab),(ba(-a,-b)),(ba),(nm(2m-a,2n-b)),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba),(ba(a,-b)(b,a)(-b,-a)(2m-a,b)(-a,b)(a,2n-b)对称有关知识：1、直线互相垂直的条件：__________________2、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的中点坐标为______________3、点(xo，yo)在直线Ax+By+C=0上的条件是__________________斜率存在，k1k2=－1Axo+Byo+C=0)2,2(2121yyxx4、点到直线距离公式：，0022AxByCdAB5、两平行直线间的距离：，2122CCdAB注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意:运用此公式时直线方程要化成一般式,并且X、Y项的系数要对应相等.例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l的方程为3x+y-2=0,求点A关于直线l的对称点A’的坐标。点关于直线对称解题要点：k•kAA’=-1AA’中点在l上A··A′YXO-3·y-4x-(-4)=-13·-4+x2+4+y2-2=0(x，y)(2，6)解：设A′（x,y)则·（L为对称轴）与圆相关的最值•思路：•1、几何分析，利用圆的几何图形，直观观察•2、代数求值，利用圆的方程，利用代数方法求，如二次函数、基本不等式、三角函数等，注意x和y的取值范围PABCxyO|AB|最短、|AC|最长D•定点与圆上的点的距离的最大值与最小值xyOABC|AB|最短、|AC|最长PDE•定直线与圆上点的距离的最大值与最小值到圆上一点距离的最值问题：圆上的点到直线（或点）的最近（远）距离为圆心到直线（点）的距离减去（加上）半径二、到圆上一点距离的最值问题：2221:250PxyQlxyPQ例：已知是圆上一点，是直线上一点，求的最小值。0,01,CrCHlH解：圆心,半径作与.PQCQCQCQCH求圆上一点到的距离可以转化为圆心到的距离，而的最小值就是圆心到直线的距离点评：到圆上一点距离的最值问题总是转化为到圆心距离的最值问题。221100515112PQCQCHPQ的最小值为5-12222,(1)1,2134231xyxyyxyxyx练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（）（）2222222()(1)1xyxyxy法二：可看作圆上的点到坐标原点距离的平方的最值，亦可求解yxo1线性相关有关的最值问题的常用方法(1)形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如A级T9)；(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点（x,y)到定点(a,b)的距离的最值问题．即(x－a)2＋(y－b)2动点（x,y)到定点(a,b)的距离的平方2222,(1)1,2134231xyxyyxyxyx练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（）（）2222222()(1)1xyxyxy法二：可看作圆上的点到坐标原点距离的平方的最值，亦可求解yxo1222231,0,1,0344ABxyPPAPBP例：已知定点和圆上的动点，求使最值时点的坐标。22222222,1121PxyPAPBxyxyxy解：设2222344xyxyPO上式中相当于在上的点到原点的距离的平方。220,0,,,3,4OPxyxy作图不难知道，当共线时,有最值。2222912,552128,55PxyPxy易求得时,最小为20求得时,最大为1002221:250PxyQlxyPQ例：已知是圆上一点，是直线上一点，求的最小值。0,01,CrCHlH解：圆心,半径作与.PQCQCQCQCH求圆上一点到的距离可以转化为圆心到的距离，而的最小值就是圆心到直线的距离点评：到圆上一点距离的最值问题总是转化为到圆心距离的最值问题。221100515112PQCQCHPQ的最小值为5-1解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如A级T9)；(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．