圆的有关性质汇总

‹#›‹#›圆的有关性质‹#›教学目标1、识记圆的主要性质，并灵活运用其性质进行解决问题2、学会同函数、方程联系，注重数形结合的思想‹#›考点1圆的基本概念圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做_______，线段OA叫做_________．弦连接圆上任意两点的___________叫做弦．弧圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，弧有_______和________两种.等弧是指__________的弧．圆心角圆的两条_________所夹的角，叫做圆心角．等圆能够完全_________的圆叫等圆.重合圆心半径线段优弧劣弧能够重合半径‹#›1.下列语句中，不正确的个数是()①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．A．1B．2C．3D．4[解析]弧包括半圆、优弧和劣弧，等弧是能够重合的弧，而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内的一点正好是圆心)．C‹#›2．如图29－1，王大爷家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳子可以选用()A．3mB．5mC．7mD．9m图29－1[解析]依据题意，让羊吃不到菜，就是说羊的活动范围最多只能在以A为圆心，AP为半径的圆内．由已知得，OB＝OP＝6，AB＝8，则AO＝AB2＋OB2＝10，AP＝AO－OP＝10－6＝4.所以，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳子应小于4m.A‹#›3．如图29－2，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(－2,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是()A．(－1,2)B．(1，－1)C．(－1,1)D．(2,1)图29－2[解析]首先利用A点坐标建立坐标系，坐标原点为C点下4格的格点，再利用“垂径定理”得出圆心在原点左1上1的格点上，所以圆心坐标为(－1,1)．C‹#›4．如图29－3所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则∠ACD＝________.图29－3[解析]∵∠B＝25°，则∠A＝65°，∠ADC＝∠A＝65°，∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝50°.50°‹#›5．如图29－4，点A、B和点C、D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.∠C与∠D相等吗？为什么？图29－4解：∠C与∠D相等，∵∠AOB＝∠COD.∴∠BOC＝∠AOD.又∵OB＝OA，OC＝OD(同圆的半径相等)，∴△BOC≌△AOD.∴∠C＝∠D.‹#›考点2圆的对称性对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是___________，它也是中心对称图形，对称中心在_________．弦、弧以及圆心角的关系同圆或等圆中，弦、弧以及圆心角这三个量中，只要有________个量相等，就可以得出其余的量也相等．垂直于弦的直径直线：①经过圆心，②垂直于弦，③平分劣弧，④平分优弧，⑤平分弦(弦不是直径)，只要其中的两个条件成立，就可以得出其余的三个结论.一过圆心的直线圆心‹#›6.如图29－5所示，如果⊙O的半径为2，弦AB＝23，那么圆心到AB的距离OE为()A.1B.3C.12D.2图29－5[解析]由垂径定理可得OE＝OA2－AE2＝1.A‹#›7．如图29－6，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OD＝3∶5，则AB的长是()A．2cmB．3cmC．4cmD．221cm图29－6[解析]连接OA，OM＝35OD＝35×52＝32，根据勾股定理AM＝522－322＝2，所以AB＝4cm.C‹#›8．如图29－7所示，已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，∠DOE＝70°，则∠BOD＝______.图29－7[解析]∵DE∥AB，∠DOE＝70°，∴∠BOE＝∠DEO＝55°，∴∠DOE＋∠BOE＝70°＋55°＝125°.125°‹#›9．如图29－8，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为______cm.图29－8[解析]由折叠圆弧恰好经过圆心O可得，点O到AB的距离等于半径的一半，再根据垂径定理易计算得AB＝242－22＝43.43‹#›10．如图29－9，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D.(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．图29－9解：(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE；②∠BED＝90°；③∠BOD＝∠A；④AC∥OD；⑤AC⊥BC;⑥OE2＋BE2＝OB2；⑧△BOD是等腰三角形等．(2)∵OD⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝4.设⊙O的半径为R，则OE＝OD－DE＝R－2.在Rt△OEB中，由勾股定理得OE2＋BE2＝OB2，即(R－2)2＋42＝R2.解得R＝5.∴⊙O的半径为5.‹#›考点3圆周角定义顶点在______，两边与圆相交的角叫做圆周角．性质①半圆或直径所对的圆周角都_______，都等于_______，反之，90°的圆周角所对的弦是________；②在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角______，都等于该弧所对的圆心角的_______，相等的圆周角所对的弧_________.相等圆上相等90°直径相等一半‹#›11.如图29－10，∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝80°，则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是()A．40°B．45°C．50°D．80°图29－10[解析]同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．A‹#›12．如图29－11，在平面直角坐标系中，点P是经过O(0,0)、A(0,2)，B(2,0)的⊙C上一个动点(P与O、B不重合)，则∠OCB＝________，∠OPB＝___________.图29－11[解析]①∵OA＝OB，点C是AB的中点，∴∠OCB＝90°；②当点P在弧OAB上时，∠OPB＝45°；当点P在弧OB上时，∠OPB＝135°.45°或135°90°‹#›13．如图29－12，AE是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.(1)AD____BD(选填“＝”或“≠”)；(2)若∠A＝30°，AE＝4cm，则AD＝______.图29－12[解析]∵OA为直径，∴∠ADO＝90°，即OD⊥AB，则OD平分AB，∴OD＝1，∴AD＝3.＝3cm‹#›14．如图29－13，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3,4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD＝__________.图29－13[解析]连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，在Rt△ACB中，∵AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得：AB＝5，∵△ABC的面积＝12×AC×BC＝6，△ABC的面积＝12×AB×CD＝52CD，∴52CD＝6，∴CD＝2.4，在Rt△ACD中，根据勾股定理可知：AD＝AC2－CD2＝1.8.1.8‹#›15．如图29－14，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD.(1)求证：OC∥BD；(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．图29－14‹#›解：(1)证明：⊙O中，AC＝CD，则∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，则∠ABC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，则OC∥BD.(2)∵OC∥BD，不妨设平行线OC与BD之间的距离为h，又S△OBC＝12OC×h，S△CBD＝12BD×h，∵BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC＝S△DBC，则OC＝BD，∴四边形OBDC为平行四边形，因为OC＝OB，所以四边形OBDC为菱形．