2013年江苏省 高考数学试卷 (真题与答案解析)

12013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．1．(2013江苏，1)函数π3sin24yx的最小正周期为__________．2．(2013江苏，2)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为__________．3．(2013江苏，3)双曲线22=1169xy的两条渐近线的方程为__________．4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是__________．6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________．7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________．8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.9．(2013江苏，9)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是__________．10．(2013江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，1=2ADAB，2=3BEBC.若12DEABAC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．11．(2013江苏，11)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为__________．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2222=1xyab(a＞0，b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若216dd，则椭圆C的离心率为__________．13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数1yx(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为__________．14．(2013江苏，14)在正项等比数列{an}中，512a，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整数n的值为__________．2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.317．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？419．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记2nnnSbnc，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．5数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝1002，B＝1206，求矩阵A－1B.C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1,2xtyt(t为参数)，曲线C的参数方程为22tan2tanxy(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.6【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)kkkkk个，…，即当1122kkkkn(k∈N*)时，an＝(－1)k－1k.记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于l∈N*，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N*，且1≤n≤l}．(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2000中元素的个数．