2015-2016学年高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用课件 苏教版必修5

1．3正弦定理、余弦定理的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接情景导入2006年10月12日，中国宣布了自己的探月计划：中国将在2007年把“嫦娥一号”绕月卫星送入太空，2012年实现发射软着陆器登陆月球．路透社报道：中国将在2024年把人送上月球．登陆月球如此困难，除了因存在很多科学难题外，还因为月球与地球相距很远，有38万公里．很久以前，数学家们就测量计算出了这个距离．你知道他们是如何计算的吗？这就要利用解斜三角形的知识．学习目标预习导学典例精析栏目链接课标点击学习目标预习导学典例精析栏目链接1．正确掌握利用正、余弦定理解斜三角形的基本方法，并能判断解的情况．2．合理建立数学模型，体会数形结合的思想方法．学习目标预习导学典例精析栏目链接要点导航知识点1解斜三角形应用题的步骤学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等．(2)根据题意画出图形，并将有关数据标注在图形上．(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练、计算准确，最后作答．知识点2在实际应用中的有关名称、术语学习目标预习导学典例精析栏目链接要正确理解实际应用问题中有关的名称、术语：(1)仰角和俯角．与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(2)方向角．从指定方向线到目标方向线的水平角．(3)方位角．从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．(4)坡度．坡面与水平面所成的二面角的度数．知识点3三角形中有关公式学习目标预习导学典例精析栏目链接P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)；S＝12aha(ha表示a边上的高)；S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；S＝abc4R(可用正弦定理推得，R为外接圆半径)；S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．还需要熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式．知识点4需注意的问题学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)会在各种应用题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，灵活选用正、余弦定理解之．(2)搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和相等关系．(3)理解各种应用问题中的有关名词、术语，如坡角、俯角、仰角、方向角、方位角等．(4)会利用经纬仪器及皮尺等测量工具进行实地测量，会按照要求写实习报告，会用计算器计算测量结果，提高动手操作能力及数学语言表达能力．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例解析题型1求不可到达两点间距离学习目标预习导学典例精析栏目链接例1隔河有两目标A与B但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)．求两目标A，B之间的距离．分析：由题意作出平面示意图(如图所示)，在四边形ABCD中，需由已知条件求出AB的长．由图可知，在△ACD与△BCD中，利用正弦定理可求得AC与BC，然后在△ABC中，由余弦定理可求出AB.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝3.在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，可得BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴AB2＝(3)2＋6＋222－23×6＋22×cos75°＝5.∴AB＝5(km)．即两目标A，B间的距离为5km.学习目标预习导学典例精析栏目链接名师点评：测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式迁移1．地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，测得AB＝20m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：在Rt△PAO中，AO＝htan30°＝3h，在Rt△PBO中，BO＝htan45°＝h，又在△AOB中，由余弦定理得202＝(3h)2＋h2－23h·hcos60°，解得h＝204－3≈13.3(m)．所以旗杆的高度约为13.3m.题型2正、余弦定理在追击问题中的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例2在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为(－1)km的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A为2km的C处的缉私船奉命以10km/h的速度追截走私船．此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间．分析：在解题前必须画出示意图，但应该明确以下几个问题：其一是方位角；其二是沿什么方向追，即按什么方位角航行；其三是最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等．在此基础上，通过解三角形，即可求出CD的方位角及由C到D所需的航行时间．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：如右图，设缉私船追上走私船需th，则CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6.故BC＝6.在△CBD中，应用正弦定理有sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12.学习目标预习导学典例精析栏目链接∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，BD＝BC＝6.即10t＝6，t＝610(h)．故缉私船沿北偏东60°方向，只需610h便能追上走私船．名师点评：解题时应明确，方位角是相对每一点而言的，因此，从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把方位角灵活看待，否则在理解题意上将可能产生失误．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式迁移2．在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O东偏南α角cosα＝210方向300km的P处，并以20km/h的速度向西北方向移动，台风侵袭的半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解析：设在时刻t时台风中心为Q，此时台风中心侵袭的圆形区域半径为10t＋60(km)，若在时刻t，城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60，学习目标预习导学典例精析栏目链接由余弦定理知，OQ2＝PQ2＋PO2－2PQ·POcos∠OPQ，∵PO＝300，PQ＝20t，cos∠OPQ＝cos(α－45°)＝cosαcos45°＋sinαsin45°＝45，∴OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×45＝400t2－9600t＋90000.故400t2－9600t＋90000＝(10t＋60)2.解得t＝12或t＝24.因此12小时后该城市开始受到台风侵袭．题型3正、余弦定理的综合运用学习目标预习导学典例精析栏目链接例3如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m，求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ.(提示：cos42.94°＝3－1)学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：如图，可知山对于地平面的斜度的倾斜角θ即为∠EAD，鉴于此，可先在△ABC中利用正弦定理求出BC，再在△BCD中利用正弦定理得到关于θ的三角函数等式，进而解出θ角．解析：在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，AB＝100m，∴∠ACB＝30°.根据正弦定理有100sin30°＝BCsin15°，∴BC＝100sin15°sin30°.学习目标预习导学典例精析栏目链接又在△BCD中，∵CD＝50，BC＝100sin15°sin30°，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，根据正弦定理有：50sin45°＝100sin15°sin30°sin（90°＋θ）.解得cosθ＝3－1，∴θ＝42.94°.∴山对于地平面的斜度的倾斜角为42.94°.学习目标预习导学典例精析栏目链接名师点评：解应用题，很关键的一点就是要增强应用数学的意识．解应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式迁移3．如图所示，在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60m的地面上取一点A，若测得CD所对的角∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：在Rt△ABC中，tan∠CAB＝3060＝12，则有tan(45°＋∠CAB)＝tan45°＋tan∠CAB1－tan45°tan∠CAB＝3，在Rt△DBA中，BD＝ABtan∠DAB＝60×3＝180，所以CD＝BD－BC＝180－30＝150(m)．所以电视塔的高度为150m.