5 控制系统的稳定性分析

WangYu1作业题2-151()Gs2()Gs()oXs()Hs()Bs()Es()Ys()Ns1、以Xi(s)为输入求Xo(s)/Xi(s)、Y(s)/Xi(s)、B(s)/Xi(s)、E(s)/Xi(s)2、以N(s)为输入求Xo(s)/N(s)、Y(s)/N(s)、B(s)/N(s)、E(s)/N(s)()iXs-1N(s)=0Xi(s)=0WangYu2第五章控制系统的稳定性分析稳定性是线性控制系统中最重要的问题WangYu3§5-1稳定的概念一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。WangYu4§5-1稳定的概念Mbcoodfabcde条件稳定系统稳定系统不稳定系统WangYu5§5-1稳定的概念稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。WangYu6§5-2系统稳定的充要条件ttnttxit=0txot00iooxx-+sG1sG2sXisXosNWangYu7§5-2系统稳定的充要条件-+sG1sG2sXisXosNsNbsbsbsbsXasasasammmmonnnn11101110nnnnmmmmoasasasabsbsbsbsGsGsGsNsX11101110212101110sXasasasaonnnn方程撤除扰动，即得到齐次01110txatxatxatxaononnonokinkjjjjjttiotFtEeeDtxtji11sincos0，即齐次方程的解趋于时，系统稳定，当按照稳定性定义，如果00ji，〈件是：系统稳定的充分必要条WangYu8§5-2系统稳定的充要条件统是稳定的。的系应最终衰减到零，这样均为负值，则零输入响实部，若系统所有特征根的因此对于线性定常系统特征根的实部，对应闭环系统传递函数，ji反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。1+G(s)H(s)=0即WangYu9§5-2系统稳定的充要条件控制系统稳定的充分必要条件是：系统闭环特征方程式的根全部具有负实部。或闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。WangYu10§5-2系统稳定的充要条件稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关；控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。WangYu11§5-3代数稳定判据为避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。劳斯(Routh)判据WangYu12§5-3代数稳定判据系统特征方程为：稳定的必要条件：ai0(i=0,1,2…,n)稳定的充分条件：劳斯阵列中第一列所有项00122110nnnnnasasasasasDWangYu13§5-3代数稳定判据0123213n3212n75311n6420nssscccsbbbsaaaasaaaas130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaab121311bbaabc131512bbaabc0asasasasasDn1n2n21n1n0一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。WangYu1401234sss042s33s1判断系统稳定性、系统特征方程为：例03s4s3s2ssD1234解：满足必要条件13-2系统不稳定。个右根，有次，符号改变劳斯阵列第一列2sD23WangYu150K必要条件：-sXisXo21sssKK为何值时，系统稳定K2s1ssK2s1ssK12s1ssKsXsXio解：02323KssssD系统特征方程为：0123ssKs2s313K6K60K系统稳定的充要条件：0K0K60有：符号满足劳斯阵列第一列例2WangYu16§5-3代数稳定判据劳斯判据的两种特殊情况：1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零；2、某一行所有元素均为零。WangYu17§5-3代数稳定判据01234sssss3311133第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。\1011、某一行第一个元素为零WangYu18§5-3代数稳定判据0123ssss2211\02第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。2,02s122s223sjssss[S]行为0，表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。1sWangYu19§5-3代数稳定判据2、某一行所有元素均为零由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征根。表明在S平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根。[S]显然，这些根的数目一定是偶数。WangYu20§5-3代数稳定判据65432528122016160Dsssssss例：0123456sssssss1612216122162081辅助多项式8624ss\4\1243第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。辅助方程08s6s24388ss1243求导：04s2s222js2js4.32.1\1\6\800系统临界稳定WangYu21作业：5-1、5-35-4(3)(4)、5-5(3)(4)WangYu22§5-4乃奎斯特稳定判据控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。或闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。回顾WangYu23§5-4乃奎斯特稳定判据sXisXosGsH-sHsG1sGsXsXio闭环传递函数：是稳定的）。平面内，则系统半征方程的根）均位于左所有极点（闭环特但如果闭环传递函数的平面，的极点可能位于右半递函数平面（虽开环传半全部根，都必须位于左的为了保证系统稳定，SSsHsGS0sHsG1WangYu24§5-4乃奎斯特稳定判据判据。联系起来的面内的零点数和极点数平在右半特征多项式与闭环开环频率特性一种将乃奎斯特稳定判据正是ssHsGjHjG1。都是开环频率特性曲线通常我们画的乃奎斯特jHjGWangYu25§5-4乃奎斯特稳定判据这一判据是由H.nyquist首先提出来的。因为在控制系统设计中，一些元件的数学表达式往往是未知的，仅仅知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定性分析方法比较方便。由解析的方法、或者由实验的方法得到的开环频率响应曲线，都可以用来进行稳定性分析。因为闭环系统的绝对稳定性可以由开环频率响应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中得到了广泛应用。WangYu26§5-4乃奎斯特稳定判据一、米哈伊洛夫定理——证明Nyquist判据的一个引理2222arg~0,,121qpnpqpnssjDsDjssqpnqspssssssAssDnniiqnq量应等于的角增变化时，复数从并命入代平面，则当以个根位于左半个根在原点上，其余有平面个根位于右半有次多项式设WangYu27§5-4乃奎斯特稳定判据证明：先看一次式abtgabtgss11122arg0jjb1sabtg1a0ajbassssD111其中：bjajbajjDjs1则有命2abtgjD~011的幅角将从连续变化从命2WangYu28§5-4乃奎斯特稳定判据abtgss1'12arg0j'1sjbabtg1ajba's1若bjajbajj'D12abtgj'D~011的幅角将从连续变化从命2WangYu29§5-4乃奎斯特稳定判据2argqpnqpn左个左零点现共有0j'1sjba1sjb2222argarg11'11abtgabtgssss复数根总是共轭出现的WangYu30§5-4乃奎斯特稳定判据再来研究零点在右半S平面的一次式abtgabtgss11222arg0jjb2saabtg10ajbassssD222其中：bjajbajjDjs2则有命2abtgjD~012的幅角将从连续变化从命2WangYu31§5-4乃奎斯特稳定判据abtgabtgss11'222arg0jjb'2saabtg1jbas'2若bjajbajj'D22abtgj'D~012的幅角将从连续变化从命2WangYu32§5-4乃奎斯特稳定判据22022argargargarg1qpnpqpnssnii原点右左2222argarg11'22abtgabtgssss同理2argpP右个右根现共有0arg2,原点的幅角恒为当令（原点处的零点）中含有至于qsjsssDqqWangYu33§5-4乃奎斯特稳定判据二、Nyquist稳定判据1、反馈系统开环与闭环的特征方程式sXisXosG-sG1sD引进新函数sDsNasasasabsbsbsbsGKKnnnnmmmm11101110sGsGsXsXio1sDsNsDsNKKKK1sNsDsNKKKsDsNBBsDsNKK1sDsNsDKKKsDsDKBWangYu34§5-4乃奎斯特稳定判据2、Nyquist稳定判据sDsDsGsDKB1由jDjDjGjsKBargarg1arg~0从且当令2arg001njDqpjDKK根据米哈伊洛夫定理中若开环稳定，即2arg00njDqpjDBB中这时，若闭环稳定，即0j