导数在研究函数中的应用

第11讲导数在研究函数中的应用1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间其中多项式函数不超过三次.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值其中多项式函数不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值其中多项式函数不超过三次.板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内______________；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内______________；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是______________单调递增单调递减常数函数．考点2函数的极值与导数1．函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值_______，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧______________，右侧______________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；2．函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_______，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧______________，右侧______________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．都小f′(x)＜0f′(x)＞0都大f′(x)＞0f′(x)＜0考点3函数的最值与导数1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的_______(2)将函数y＝f(x)的各极值与________________________比较，其中_______的一个是最大值，_______的一个是最小值．连续不断极值．端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小[必会结论]1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]内一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．[双基夯实]一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)＞0.()2．函数y＝12x2－lnx的单调减区间为(－1,1)．()3．在函数y＝f(x)中，若f′(x0)＝0，则x＝x0一定是函数y＝f(x)的极值．()4．函数的极大值不一定比极小值大．()5．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()×√√××二、小题快练1．[课本改编]函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0解析因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x1时，y′0，当x1时，y′0，所以函数的极小值为y|x＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以ymin＝0.2．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是()A．0B．1C．2D．3解析f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.所以a≤3，故amax＝3.3．[课本改编]设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析f′(x)＝(x＋1)ex，当x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1时，f′(x)＞0，所以x＝－1为f(x)的极小值点，故选D.4．[课本改编]若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()A．x＝1是最小值点B．x＝0是极小值点C．x＝2是极小值点D．函数f(x)在(1,2)上单调递增解析由导数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，选C.5．[2016·苏中八校学情调查]函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．6．若y＝x＋a2x(a＞0)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．解析由y′＝1－a2x2≥0，得x≤－a或x≥a.∴y＝x＋a2x的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a＞0，∴0＜a≤2.(0,2]板块二典例探究·考向突破考向函数的单调性与导数例1[2016·陕西汉中期末]已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．[解](1)f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±3a3；当x＞3a3或x＜－3a3时，f′(x)＞0；点击观看考点视频当－3a3＜x＜3a3时，f′(x)＜0.因此f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，在－3a3，3a3上为减函数．综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；当a＞0时，f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，在－3a3，3a3上为减函数．(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]．延伸探究1本例(2)中，函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．解因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．延伸探究2本例(2)中，函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．解由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数．延伸探究3本例(2)中，函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．解由例题可知．f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.延伸探究4本例(2)中，函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．解∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0,3)．1．利用导数求函数的单调区间的两个方法(1)方法一：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)方法二：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．2．由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.【变式训练1】已知函数f(x)＝3xa－2x2＋lnx(a∈R且a≠0)．(1)当a＝3时，求函数的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝3时，f(x)＝x－2x2＋lnx，f′(x)＝1－4x＋1x＝－4x2－x－1x(x0)．令f′(x)＝0，得x＝1－178(舍)或x＝1＋178.由f′(x)0，得x1＋178.由f′(x)0，得0x1＋178.所以函数单调递增区间为0，1＋178，单调递减区间为1＋178，＋∞.(2)由f(x)＝3xa－2x2＋lnx，得f′(x)＝3a－4x＋1x.f(x)在[1,2]上为单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x在[1,2]上恒成立．即3a≥152或3a≤3.解得0a≤25或a0或a≥1.所以当f(x)在[1,2]上为单调函数时a的取值范围是(－∞，0)∪0，25∪[1，＋∞)．考向函数的极值与导数函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.命题角度1知图判断函数极值情况例2[2016·青海西宁月考]设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则()A．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)[解析]由图象知，当x＜－3时，f′(x)＜0；当－3＜x＜0时，f′(x)＞0，由此知极小值为f(－3)；当0＜x＜3时，f′(x)＞0；当x＞3时，f′(x)＜0，由此知极大值为f(3)．故选D.命题角度2已知函数求极值例3[2015·安徽高考]已知函数f(x)＝axx＋r2(a＞0，r＞0)．(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若ar＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．[解](1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．f(x)＝axx＋r2＝axx2＋2rx＋r2，f′(x)＝ax2＋2rx＋r2－ax2x＋2rx2＋2rx＋r22＝ar－xx＋rx＋r4，所以当x＜－r或x＞r时，f′(x)＜0；当－r＜x＜r时，f′(x)＞0，因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)．(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝ar2r2＝a4r＝4004＝100.命题角度3已知函数的极值求参数例4(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则ab的值为()A．－23B