二面角的计算

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二、二面角的平面角ABPl1、定义二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:0180二面角的大小用它的平面角的大小来度量A1B1P1(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B1从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义平面所组成的图形叫做二面角记作：AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E面面棱二面角的表示二面角的表示方法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是基础练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º二面角思考：1．二面角的平面角概念与三垂线定理的联系：2.二面角的平面角概念与线面角的联系：二.作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—作垂直于棱的直线—三垂线定理法—垂面法二面角例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa22又∵∠MPN=60º∴CD=PCa2∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO二面角OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90º∴OE∥BC且OEBC212221在Rt△POE中，OE，PO22tanPEO∴22∴二面角P-AB-C的值为arctan例3．如图，空间四边形PACB的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的值。2∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角23在Rt△PBE中，BE，PB=1，PE21OE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明这个角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16二、二面角的平面角一、二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义2、求二面角的平面角方法①点P在棱上②点P在一个半平面上③点P在二面角内ABPγβαι小结αβιABαβιpιpαβABpαβιABO—作垂直于棱的直线—三垂线定理法—垂面法二面角αβABCD补充作业:1、A为二面角α–CD–β的棱CD上一点，AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与平面β成30º，求二面角α–CD–β的大小。作业二面角作业：P47习题9.73,4，5练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离。βαACBOD二面角解：∵在Rt△ABCAC=5，BC=12，∴AB=13过点O作OD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB∴∠CDO为二面角α-AB-β的平面角，且∠CDO=30°.过点O作CO⊥β于O1360CD，在Rt△COD中，.1330CO∴点C到平面β的距离为：.1330练习2：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面角C1-BD-B1的大小。二面角26arccosOO1解：连C1B，C1D，则△C1BD是等腰三角形取BD的中点O，连C1O则C1O⊥BD取B1D1的中点O1，连O1O，O1C1则O1O⊥BD，O1O⊥O1C1在Rt△C1O1O中，∴∠C1OO1为二面角C1-BD-B1的平面角.1111cosOCOOOOC26∴二面角C1-BD-B1的大小为：