评讲作业

1求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径长为８的抛物线的标准方程，并指出其焦点坐标和准线方程.2.过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB，若弦AB恰被Q点平分，求弦AB所在直线的方程.3抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点，P（1，1）为线段AB的中点，求抛物线C的方程4.已知AB是抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：(1)x1·x2,y1·y2为定值(2)5.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，求|PQ|的最小值.yxO6.已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.例7求抛物线被点P(-1,1)平分的弦所在直线方程.xy42变式:求斜率为4且与抛物线相交的平行弦的中点轨迹方程.xy42变式:求过点（2，1）且与抛物线相交的弦的中点轨迹方程.xy427.抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点，P（1，1）为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()(A)y=2x2(B)y2=2x(C)x2=2y(D)y2=-2x课外思考:1.求抛物线22yx的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.2.若抛物线22yx上两点1122(,),(,)AxyBxy关于直线yxm对称,且1212xx,则_____.m2x（22y≥）（即在抛物线的内部）32例8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD例9：在抛物线y2=8x上求一点P，使P到焦点F的距离与到Q(4，1)的距离的和最小，并求最小值。xyQ2FOF4P考点二、最值问题变式：在抛物线y2=8x上求一点P，使P到准线的距离与到Q(1，4)的距离的和最小，并求最小值。当P点坐标为（1/8,1),dmin=6分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．xyOFBAxyOFBADCxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCH变式：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．证明：如图．xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜11．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分为A1、B1，则∠A1FB1等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图所示，由定义知AA1＝AF，BB1＝BF，∴∠BB1F＝∠BFB1，∠AA1F＝∠AFA1，∠A1FB1＝180°－(∠B1A1F＋∠A1B1F)，∴2∠A1FB1＝180°，∴∠A1FB1＝90°，特殊值法，即以AB垂直x轴时为例(详解略)．答案：D12.已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6.（1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值.【解析】（1）由题意设抛物线方程为y2=2px(p0)，其准线方程为∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离,∴p=4,∴此抛物线的方程为y2=8x.px2，p46,2（2）由消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0，∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A、B，则有解得k-1且k≠0,由题知解得k=2或k=-1（舍去）,∴所求k的值为2.2y8xykx2k0,024k84,k14.抛物线y2=2px(p0)上有两动点A、B及一个定点M，F为焦点，若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列（1）求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；（2）若|MF|=4,|OQ|=6（O为坐标原点），求抛物线的方程.解析：证明：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，则|AF|=x1+p/2，|BF|=x2+p/2，|MF|=x0+p/2，由题意得x0=x1+x2/2，∴AB的中点坐标可设为(x0,t)，其中t=y1+y2/2≠0（否则|AF|=|MF|=|BF|p=0），11212222121221()2AByyyyppkxxyytyyp而故AB的垂直平分线为y－t=-t/p(x－x0)，即t(x－x0－p)+yp=0，可知其过定点Q(x0+p,0).（2）由|MF|=4,|OQ|=6，得x0+p/2=4,x0+p=6，联立解得p=4,x0=2∴y2=8x.∴中点P的轨迹方程为y2＝px－2p2.(p＞0)．(4)SΔAOB＝SΔAOM＋SΔBOM＝|OM|(|y1|＋|y2|)＝p(|y1|＋|y2|)≥2p＝4p2，当且仅当|y1|＝|y2|＝2p时，等号成立，故ΔAOB面积的最小值为4p2.【解析】（1）如图，由方程组消去x得ky2+y-k=0,设A（x1,y1）,B(x2,y2)，由根与系数的关系知y1y2=-1.∵A、B在抛物线y2=-x上，∴y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2.∵kOA·kOB==-1,∴OA⊥OB.2y=-x,y=k(x+1),1212121212yyyy1·==xxxxyy20.(12分)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.(1)求证：OA⊥OB；2）当△OAB的面积等于时，求k的值.10例题14(2)设直线AB与x轴交于N，由题意显然k≠0.令y=0,则x=-1,即N(-1,0).15.设A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)求弦AB中点P的轨迹方程；(4)求ΔAOB面积的最小值．•AB过定点(2p,0)，设M(2p,0)．当x1＝x2时，AB仍然过定点(2p,0)思考2:若抛物线2yx存在关于直线:1(1)lykx对称的两点,求实数k的取值范围.分析：假设存在关于直线:1(1)lykx对称的两点A、B,看k应满足什么条件.显然0k不合题意,∴0k∴直线AB的方程为1yxbk继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.答案:20k22.（12分）已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py(p0)相交于B、C两点.当直线l的斜率是时，（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.12.AC=4ABuuruur例题16【解析】