复数代数形式的乘除运算

复数代数形式的乘除运算温故夯基1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，类似于把i看成未知数的多项式的加减运算．2．对于两个非零复数z1和z2，|z1±z2|___|z1|＋|z2|.≤2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝_____结合律(z1·z2)·z3＝_______乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝________z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3z2·z11．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________.ac－bd＋(ad＋bc)i知新益能3.共轭复数如果两个复数满足__________________________时，称这两个复数为共轭复数．z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi，则z＝______.实部相等，虚部互为相反数a－bi4．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则z1z2＝________________________________．a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)问题探究1．z·z与|z|2和|z|2有什么关系？提示：z·z＝|z|2＝|z|2.2．z2与|z|2有什么关系？提示：当z∈R时，z2＝|z|2，当z为虚数时，z2≠|z|2，但|z|2＝|z2|.3．对于复数z，z·0＝0成立吗？提示：仍然成立．(1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等．(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．复数的乘除法考点突破计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)(1＋i1－i)6＋2＋3i3－2i.例1【解】(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i；(3)法一：原式＝[1＋i22]6＋2＋3i3＋2i32＋22＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.【思维总结】对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号．法二：(技巧解法)原式＝[1＋i22]6＋2＋3ii3－2ii＝i6＋2＋3ii2＋3i＝－1＋i.变式训练1计算(1－i)2＋2i＋(3＋i3)＋1i的值．解：原式＝－2i＋2i＋3－i－i＝3－2i.已知z＝x＋yi(x、y∈R)且z＝1z，(z＋1)(z＋1)＝x2＋y2，求复数z.例2【思路点拨】z＝1z⇒zz＝1⇒|z|＝1，从而展开(z＋1)·(z＋1)可求．共轭复数z·z＝|z|2，体现了复数与实数的转化．z∈R⇔z＝z；若z≠0，z＋z＝0，则z为纯虚数．【解】∵z＝1z，∴zz＝1，∴|z|＝1，即x2＋y2＝1.又∵(z＋1)(z＋1)＝x2＋y2，∴z·z＋z＋z＋1＝1，∴2x＋1＝0，∴x＝－12.由x2＋y2＝1，得y2＝34，∴y＝±32.∴z＝－12±32i.【思维总结】本题充分利用了共轭复数的有关性质，使问题直接化简为2x＋1＝0而不是直接把z＝x＋yi代入等式．变式训练2已知x、y∈R，若2x＋(5－y)i和3x－1－(y＋1)i是共轭复数，求复数z＝x＋yi和z.解：因为2x＋(5－y)i和3x－1－(y＋1)i是共轭复数，所以2x＝3x－1，5－y＝y＋1，解得x＝1，y＝2.所以z＝1＋2i，z＝1－2i.虚数单位i的周期性：(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．n也可以推广到整数集．i的运算性质及应用计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010.【思路点拨】解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．例3【解】法一：原式＝i1－i20101－i＝i[1－i21005]1－i＝i·1＋11－i＝2i1＋i2＝－1＋i.法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010)＝i－1＋0＝－1＋i.【思维总结】等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．解：设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010，则iS＝i＋2i2＋…＋2010i2010＋2011i2011，∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2010－2011i2011＝1－i20111－i－2011i2011＝1－i4502i31－i－2011(i2)1005i＝2012i.∴S＝2012i1－i＝2012i1＋i2＝－1006＋1006i.变式训练3计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值．方法技巧1．复数的乘法运算法则的记忆复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．2．复数的除法运算法则的记忆复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.如例1(3)方法感悟3．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．4．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.②1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i.③1i＝－i.失误防范1．z1＋z2＝0只是z1与z2共轭的必要条件．2．在复数的乘除法中，注意要把i2化为－1后再化简．作业:P471--11