同济大学高等数学第七版上册定积分

第三节定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法一、定积分的换元法根据微积分基本公式定积分法，不定积分法且使用方法与相应的不定积分法类似。设)(xf在],[ba上连续；函数)(tx满足条件定理（2）)(t在],[或],[上单调，且有连续导数，则有（1）a)(、b)(；一、定积分的换元法证因为)(xf在],[ba上连续，故原函数存在，设)(xF是)(xf的一个原函数，则有注意:(1)应用定积分的换元法时,与不定积分比较，多一事：换上下限；少一事：不必回代；)(tx应单调,当t从变到时,x从a变到b,不重复,不遗漏；(2)(3)逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.换元必换限上限对上限、下限对下限例1.计算解:令则∴原式=且例2205sincosxdxxxucos1066u.61015duu205sincosxdxx或为积分变量以xcos205coscosxxd206|cos61x.61例330)1(dxxx301d2xx302arctant.32例4202d1xxx401t.152022d1121xx320dt21txt42011dt21txt例5计算解令.1d803xx，tx3，ttxd3d2,80:x，20:t原式202d13ttt202d1113ttt20d)111(3ttt202)|1|ln21(3ttt.3ln3，3tx例6计算解令原式.d1e2ln0xx，tx1e，21etx，)1ln(2tx，tttxd12d2，2ln0:x，10:t102d12tttt102d)111(2tt10arctan22t.22例7解设,0,110,2)(xxxxxxf求20)d1(xxf.令，tx1原式11d)(ttf11d)(xxf0110d11d2xxxxx.2ln201102d)121(xxx01)1ln(211x证设)(xf在],[aa上连续,那么(1)若)(xf为偶函数,则aaaxxfxxf0d)(2d)(；(2)若)(xf为奇函数,则0d)(aaxxf.，00d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf0d)(axxf，axxf0d)(，aaaxxfxfxxf0d)]()([d)(利用函数的对称性简化计算.txattf0d)(偶倍奇零(1))(xf为偶函数,则),()(xfxf(2))(xf为奇函数,则),()(xfxfaaaxxfxfxxf0d)]()([d)(aaaxxfxxf0d)(2d)(.0d)(aaxxfyxo)(xfyyx)(xfyo奇函数例8计算解.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积1122d)1(xxx11222d)112(xxxxx11211d12d1xxxx.2例9xxbxaxxdcossin1cossin2222.0奇函数112d)1ee(xxxx102d2xx.32设)(xf是以T为周期的连续函数，证明：证Taaxxfd)(,d)(d)(d)(00TaTTaxxfxxfxxfTaTxxfd)(tTxatTtf0d)(attf0d)(,d)(0axxf.d)(d)(0TTaaxxfxxf例10TTaaxxfxxf0d)(d)(..d)(cosd)(sin2/02/0xxfxxf证令，xt22/0d)(sinxxf02/d)]2[sin(ttf.d)(cos2/0xxf例11设)(xf在]10[，上连续,证明：201010dcossin1cossinxxxxx0•二、定积分的分部积分法定理设函数)(),(xvxu在],[ba上连续可导,则例1例2e1dlnxxe1e1lndlnxxxx.1)1e(ee1d1exxx10dexxx10dexx1010deexxxx101-e-ex.e21定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部积分公式的用法类似。e13dlnxxxe121dln21xxe12e12lnd121ln21xxxxe132d121e21xxe12241e21x.e43412例3例402dsinxxx02cosdxx002dcos2cosxxxxx02sind2xx002dsin2sin2xxxx.42例5计算.arcsin210xdx解210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx62112为积分变量换元：以x)1(112120221xdx1221021x.12312另解210arcsinxdx60sintt分部积分60sintdt21660][cost.1231260sinarcsinsintdttxxt则换元：例5计算.arcsin210xdx例6102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx10112110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln35例7计算分部积分法与换元法结合.de10xx解令,tx,2tx,d2dttx,10:t原式10de2ttt10de2tt1010de2e2tttt.2e2e210t*例8设求解21,sin)(xdtttxf.)(10dxxxf因为ttsin没有初等形式的原函数（积分正弦)，无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法10)(dxxxf102)()(21xdxf102)(21xfx102)(21xdfx)1(21f102)(21dxxfx102222sin21dxxxxx1022)(sin21xdx102cos21x).11(cos21102sin221dxxx三、小结1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对应。3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分公式的用法类似。2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。作业P2541(4),(10),(16),(24);3;6;7(4),(9),(10)