李灿泽：方程的根与函数的零点(第一课时)

3.1.1方程的根与函数的零点授课教师：李灿泽授课班级：高一（19）班热烈欢迎各位老师光临指导！！思考：函数y=x2-2x-3的图象与x轴有几个交点？交点坐标是什么？y=x2-2x+1呢？y=x2-2x+3呢？函数的图象与x轴的交点方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3y=0综合以上分析，可得下表：①函数f(x)=0的表达式就是相应的方程.③方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.②方程f(x)=0的解的个数与y=f(x)的图象与x轴的交点个数是一样的.我们可以发现：思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象？这种关系可以推广一般情形吗？结论：一元二次方程的根是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标.对于任意方程f（x）=0与对应函数y=f（x）上述结论是否成立呢？012x12xy（1）（2）01log2x1log2xy的实数根是方程00xfx）有交点（轴的图象与函数0,0xxxfy方程的根和相应的函数图象与x轴交点的横坐标相同函数零点的定义：x对于函数)(xfy我们把使0)(xf的实数叫做函数)(xfy的零点思考1：函数的零点是不是点？我们把f(x)=0成立的实数x叫做y=f(x)的零点，因此，函数的零点不是点，而是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标，即零点是一实数，当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零，函数的零点实际上就是方程f(x)=0的实根，方程有几个实根，函数f(X)就有几个零点。例1：函数f(x)=x2－2x－3的零点是（）A.(-1,0)B.(3,0)C.(-1,0),(3,0)D.-1,3D对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其判别式＝b2－4ac.判别式方程ax2＋bx＋c＝0的根函数y＝ax2＋bx＋c的零点＞0＝0＜0思考2：如何判定二次函数的零点?两不相等实根两相等实根没有实根两个零点一个零点没有零点方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点思考3：函数的零点与函数图象关系怎样？思考4：怎样求函数的零点？例2求函数f(x)=lg(x-1)的零点.练一练：求下列函数的零点。（1）y=x2－5x+6;（2）y=2x－1;2和30令f(x)=0,即lg(x-1)=0,x-1=1,得x=2.解方程：(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；(3)写出零点.零点的求法代数法几何法利用函数图象变式：判断函数f(x)=lnx+2x-6在(2，6)上是否有零点？探究:（Ⅰ）观察二次函数32)(2xxxf的图象：○1在区间(-2,1)上有零点______；)2(f_______，)1(f_______,)2(f·)1(f_____0（＜或＞）．○2在区间(2,4)上有零点______；)2(f·)4(f____0（＜或＞）．(Ⅱ)观察函数的图象:①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d)_____0（＜或＞）．-15-43有有有思考5：怎样判断一个函数在（a,b）内是否有零点？bacbacf(a)·f(b)＜0零点的存在性定理如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。零点的存在性定理如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。问题1:若只给条件f(a)·f(b)0,能否保证函数y=f(x)在(a,b)一定有零点？abxy问题2：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)0一定成立吗?（1）函数图象必须是连续的abyx（2）结论不可逆ab问题3：零点唯一吗？（3）至少有一个零点练一练1函数y=f(x)在区间[a,b]上有一个变号零点x0,且f(a)0,f(b)0,f()0,则x0在哪个区间内()A.[,b]B.[a,]C.[,a]D.[b,]2ba2ba2ba2ba2baBxyoab零点存在性定理的理解练一练2已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123456f(x)136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.06函数f(x)在哪几个区间内有零点？为什么？[2,3];[3,4];[4,5]如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)﹤0，且是单调函数，那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。abxy0思考：什么情况下，函数f(x)在区间[a,b]内有惟一的零点？零点的唯一性定理由表3-1和图3.1-3可知f(2)0,f(3)0，即f(2)·f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例3求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y2410861214876432193(34)3fxxx函数有零点的区间是(例.))0,1.(A)1,0.(B)2,1.(C)3,2.(D解：∵f(-1)=-1＜0，f(0)=-30，f(1)=-5＜0，f(2)=-10，f(3)=15＞0，即f(2)·f(3)＜0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.D对于函数y=f(x),叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数的零点定义：等价关系使f(x)=0的实数x零点的求法代数法图像法小结如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)﹤0，且是单调函数，那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。函数零点的惟一性布置作业：求证：方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内.必做题：教材P92习题3.1A组第2题学海导航P57第1课时选做题：再会！奎屯王新敞新疆·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆再次感谢您的光临指导！！点滴积累丰富人生