经济数学基础教案

彭山电大教案备课教案第一周星期五课题函数所需课时2教学目的理解函数的概念，掌握函数的几何特性，为研究微分做好准备。掌握基本初等函数的各种状态，为研究更深一步的函数作准备。重点函数的概念，函数的几何特性，各种基本初等函数的性态。难点反函数的理解，分段函数的理解，复合函数的理解。教学过程：一、组织教学点名、组织课堂纪律二、复习引入同学们就以前学过的函数的知识谈谈自己对函数的理解。三、讲授新课一、函数的概念：1、函数的定义：1）Def：设x和y是两个变量，D是给定的非空数集。若对于每一个数xD，按照某一确定的对应法则f，变量y总有唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作yf(x),xD。Note：（1）x称为自变量,y称为因变量或函数；（2）D称为定义域,记作Df,即DfD；（3）f称为函数的对应法则；（4）集合{y|yf(x),xD}称为值域。当自变量x在定义域内取定某确定值x0时，因变量y按照所给函数关系求出的对应值y0叫做当x=x0时的函数值，记作0xxy或f(x0)例1：已知1()1xfxx，求2110,,,,1,22fffxffxfx解：12121101101,10213ff-2-1122211111111111111211xxxxfxxxxfxxxxfxxxxfxx例2：求下列函数的定义域（1）2352fxxx（2）29fxx（3）lg43fxx（4）arcsin21fxx（5）lg43arcsin21fxxx解：（1）在分式2352xx中，分母不能为零，所以2520xx，解得25x，且0x即定义域为22,,00,55。（2）在偶次方根中，被开方式必须大于等于零，所以290x，解得33x即定义域为3,3（3）在对数式中，真数必须大于零，所以430x，解得34x，即定义域为3,4（4）反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1，所以有1211x，解得01x，即定义域为[0，1]（5）该函数为（3）（4）两例中函数的代数和，此时函数的定义域为（3）（4）两例中定义域的交集，即33,0,1,144小结：定义域的求解原则：-3-（1）10xx含时，（2）0xx含时，（3）ln0xx含时，（4）arcsin,arccos1xxx含时，（5）同时含有上述四种情况的人以两种或两种以上时，要求各部分都成立的交集。2）邻域：设,a为两个实数，0，则称满足不等式xa即以a为中心的开区间,aa为点a的邻域。点a为该邻域的中心，为该邻域的半径。四、练习：求下列函数的定义域：（1）2352fxxx（2）29fxx（3）lg43fxx（4）arcsin21fxx（5）lg43arcsin21fxxx五、归纳小结本节主要复习了函数的定义及函数定义域值域的求法。这部分内容的掌握将为我们以后的继续学习打下良好的基础。课后作业：1、求函数)1ln(2xy的定义域；2、作函数0,20,)(2xxxxxf的图像反思录：-4-备课教案第二周星期三课题函数所需课时2教学目的（1）理解复合函数、分段函数的概念。（2）掌握函数的特性。重点函数特性的理解。难点函数特性的理解。教学过程：一、组织教学点名、组织课堂纪律二、复习引入1、什么叫做函数？2、求下列函数的定义域及值域。（1）29fxx（2）lg43fxx三、讲授新课分段函数对于自变量的不同取值范围，又不完全相同的对应法则的函数，称为分段函数。例3：函数11102xxxxy.这是一个分段函数,其定义域为D[0,1](0,)[0,).当0x1时,xy2;当x1时,y1x.2212)21(f;212)1(f;f(3)134.Note：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集。3、显函数和隐函数若函数中的因变量y用自变量x的表达式直接表示出来，这样的函数称为显函数。一般地，若两个变量x,y的函数关系用方程F(x,y)=0的形式表示，即x,y的函数关系隐藏在方程里，这样的函数叫做隐函数。-5-例如：0xyxye有的隐函数可以转化成显函数，由隐函数转化成显函数的过程叫做隐函数的显化。二、函数的几种特性：1、函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集XD.如果存在数K1,使对任一xX,有f(x)K1,则称函数f(x)在X上有上界,而称K1为函数f(x)在X上的一个上界.图形特点是yf(x)的图形在直线yK1的下方.如果存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有下界,而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是,函数yf(x)的图形在直线yK2的上方.如果存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.图形特点是,函数yf(x)的图形在直线yM和yM的之间.函数f(x)无界,就是说对任何M,总存在x1X,使|f(x)|M.例如(1)f(x)sinx在(,)上是有界的:|sinx|1.(2)函数xxf1)(在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界,无上界.这是因为,对于任一M1,总有x1:1101Mx,使Mxxf111)(,所以函数无上界.函数xxf1)(在(1,2)内是有界的.2、函数的单调性设函数yf(x)的定义域为D,区间ID.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数yx2在区间(,0]上是单调增加的,在区间[0,)上是单调减少的,在（,）上不是单调的.3、函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD,则xD).如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(x)为偶函数.如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(x)为奇函数.-6-偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称,奇偶函数举例:yx2,ycosx都是偶函数.yx3,ysinx都是奇函数,ysinxcosx是非奇非偶函数.例4：判断函数)1(log)(2xxxfa的奇偶性.解函数的定义域为D=),(,又因为)1log(]1)()[(log)(22xxxxxfa12221)1(logxxxxa)1(log2xxa)()1(log2xfxxa所以函数)1(log)(2xxxfa是奇函数.4、函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一xD有(xl)D,且f(xl)f(x)则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为l的区间上,函数的图形有相同的形状.例如,xyxycos,sin的周期2T,xyxycot,tan的周期T,正弦型曲线函数)sin(xAy的周期为2T.四、练习已知函数11102xxxxy，求f(0.04)和f(9)。五、归纳小结本节主要总结了函数的几种特性，适当时候可以结合图像来分析理解。课后作业：求函数?)1(),0(),1(010)(2fffxxxxf的定义域及函数值，，反思录：-7-备课教案第三周星期五课题基本初等函数所需课时2教学目的（1）理解反函数，会求一个函数的反函数。（2）掌握五类基本初等函数。重点掌握五类基本初等函数。难点理解反函数，会求一个函数的反函数。教学过程：一、组织教学点名、组织课堂纪律二、复习引入1、计算：32；02；22；4116；3227；2149；2、怎样画函数的图像？三、讲授新课一、初等函数1、反函数定义1.1设函数ZyDxxfy,),(.若对于任意一个Zy,D中都有惟一的一个x,使得yxf)(成立,这时x是以Z为定义域的y的函数,称它为)(xfy的反函数,记作Zyyfx),(1.在函数)(1yfx中,y是自变量,x表示函数.但按照习惯,我们需对调函数)(1yfx中的字母x,y,把它改写成Zxxfy),(1.今后凡不特别说明,函数)(xfy的反函数都是这种改写过的Zxxfy),(1形式.函数Dxxfy),(与Zxxfy),(1互为反函数,它们的定义域与值域互换.在同一直角坐标系下,Dxxfy),(与Zxxfy),(1互为反函数的图形关于直线xy对称。-8-例如,函数23xy与函数32xy互为反函数,其图形如图1.1所示,关于直线xy对称.函数xy2与函数xy2log互为反函数,它们的图形在同一坐标系中是关于直线xy对称的.如图1.2所示.y23xyxyyxy2xy32xy1xy2log-201x01x-2图1.1图1.2定理１.１（反函数存在定理）单调函数必有反函数,且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的.求反函数可以按以下步骤进行:(1)从方程)(xfy中解出惟一的x,并写成)(ygx;(2)将)(ygx中的字母yx,对调,得到函数)(xgy,这就是所求的函数)(xfy的反函数.2.复合函数定义1.2假设有两个函数)(),(xuufy,与x对应的u值能使y有定义,将)(xu代入)(ufy,得到函数))((xfy.这个新函数))((xfy就叫做是由)(ufy和)(xu经过复合而成的复合函数,称u为中间变量.例如,由xxueufyucos)(,)(可以复合成复合函数xexfycos))((.复合函数不仅可用两个函数复合而成,也可以有多个函数相继进行复合而成.如由xvvuuysin,ln,可以复合成复合函数xysinln.需要指出,不是任何两个函数都能复合成复合函数.由定义易知,只有当)(xu的值域与)(ufy的定义域的交集非空时,这两个函数才能复合成复合函数.例如函数uyln和2xu就不能复合成一个复合函数.因为2xu的值域为]0,(,而uyln的定义域为),0(，显然)ln(,),0(]0,(2xy无意义.3.基本初等函数-9-我们学过的五类函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数.为了便于应用,下面就其图像和性质作简要的复习.参看表1-1.表1-1基本初等函数及图像性质序号函数图像性质1幂函数Rxy,y00(1,1)0x在第一象限，0时函数单增；0时函数单减．都过点（1，1）2指数函数)10(aaayx且y10a1a10x1a时函数单增；10a时函数单减．共性：过（0，1）点，以x轴为渐近线3对数函数)10(logaaxya且y1a01x10a1a时函数单增；10a时函数单减．共性：过（1，0）点，以y轴为渐近线4三角函数正弦函数xysiny1-0x-1奇函数,周期T=2,有界1sinx余弦函数xycosy1-202x-1偶