经济数学复习第二章导数与微分

ESC第二章导数与微分第二章导数与微分导数公式与运算法则复合函数的导数导数概念高阶导数微分ESC一、导数的概念定义2.1设函数在点及其左右邻近有定义,若极限)(xfy0xxxfxxfxyxx)()(limlim0000存在,则称函数在点可导,并称此极限值为函数在点的导数,记作)(xf0x)(xf0x),(0xf,0xxy,dd0xxxy或.dd0xxxfESC即)(0xf.)()(lim000xxfxxfx.)()(lim000xxxfxfxx)(0xf或定义2.2若函数在区间内任意一点处都可导，则称函数在区间内可导．)(xfy)(xf),(ba),(baxyddy.ddxf或)(xf或或记作即.Δ)()Δ(limΔΔlim)(0Δ0Δxxfxxfxyxfxx一、导数的概念ESC例1设函数在点处可导，按导数的定义，确定出的值。0000(2)()(1)lim0()()(2)lim0fxxfxAxxfxxfxAxxy()fx0xA()lnfxx（3）设，求(3)()lim0fxxfxxx一、导数的概念ESC（4）设，求()()lim0fxxfxxx()ln2fx一、导数的概念求曲线y1xe在0x处的切线方程。练习：例2求曲线yx在1x处的切线方程。ESC二、导数公式与运算法则0)()1(C1)()2(xxaaaxxln)()3(xxe)e()4(axxaln1)(log)5(xx1)(ln)6(xxcos)(sin)7(xxsin)(cos)8(xx2sec)(tan)9(xx2csc)(cot)10(xxxtansec)(sec)11(xxxcotcsc)(csc)12(211)(arcsin)13(xx211)(arccos)14(xx211)(arctan)15(xx211)cotarc()16(xx一定要熟记!!!ESC设函数,都是可导函数,则)(xuu)(xvv(1)代数和可导,且)]()([xvxu)(vuvu(2)乘积可导,且)()(xvxu)(vuvuvuvCvCesp)(:乘积法则可推广到有限个函数的情形.例如,对三个函数的乘积,有wvuwvuwvuwvu)(二、导数公式与运算法则ESC二、导数公式与运算法则设函数,都是可导函数,则)(xuu)(xvv(3)若,商可导,且0)(xv)()(xvxu)(vu2vvuvu2)(:vvCvCespESC二、导数公式与运算法则3333log3sin,4xyxx例3,cos2ln3xxxy求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）,1e2xyxlog2ln3xxxxxey=(5)tancotyxxxESC八、洛必达法则三.复合函数的导数法则求下列函数的导数例4,sin3xy（1）（2）2ln5yx（3）5lnxyex2x2x+3y=sine（4）23cosyx（5）1tan22sin(23)xyyx（6）（7）ESC四.高阶导数lncosyx（8）2cosyx（9）243yx（10）求下列函数的二阶导数.例5(1)；(2)．32235yxxcosyxx2xyxe(３)ESC求下列函数的阶导数.n(1)；(2)．xy5xy2e例6四.高阶导数ESC五.微分定义定义2.6设函数在点可导,自变量)(xfyx在点的改变量为,乘积称为函数在点的微分.xxxxf)(x这时,也称函数在点可微.函数的微分记作,即)(xfxyd.)(dxxfy通常把自变量的改变量称为自变量的微分,记作,即xxxd于是函数的微分,一般记作)(xf.d)(dxxfy即函数的微分等于函数的导数与自变量的微分的乘积.ESC例7求下列函数的微分：(1)；xxy23exy1arctan(2)．解(1))23(ee2e3222322xxxxyxxxxxxxyyxd)23(edd22所以．(2)22211111xxxy，21ddxxy．五.微分定义（3）2()xyfe（3）222()xxyfee222()xxdyfeedx若tan2xy则?dy练习ESC六.基本初等函数的微分公式0)(d)1(Cxxxd)(d)2(1xaaaxxdln)(d)3(xxxde)e(d)4(xaxxadln1)(logd)5(xxxd1)(lnd)6(xxxdcos)(sind)7(xxxdsin)(cosd)8(xxxdsec)(tand)9(2xxxdcsc)(cotd)10(2xxxxdtansec)(secd)11(xxxxdcotcsc)(cscd)12(xxxd11)(arcsind)13(2xxxd11)(arccosd)14(2xxxd11)(arctand)15(2xxxd11)cotarc(16)d(2一定要熟记!!!ESC六.基本初等函数的微分公式微分的四则运算法则设函数，可微，则uuxvvxduvdudvduvvduudvdcucdu，（c为常数）2()uvduudvdvv，(0)vESC六.基本初等函数的微分公式d(cos2x)例7求例8求函数的微分cos4xyexcos4()(cos4)cos4()(sin4)(4)cos44sin4(cos44sin4)xxdyxdeedxxxxedxexdxxxexdxexdxxexxdx解：ESC