微积分(第二版吴传生)第二章 第7节 函数的连续性教案.ppt

一、函数的连续性的概念二、函数的间断点四、小结思考题第七节函数的连续性三、初等函数的连续性一、函数的连续性(continuity)1.函数的增量(increment).1221的增量称为变量则变到终值从它的初值设变量uuuuuuu注意：可正可负；u)1(.)2(的乘积与是一个整体，不能看作uu，变到从，函数；相应地的增量在点为自变量称时，变到内由在当内有定义在设函数)()(),(,),()(0000000xxfxfyxxxxxxxUxxUxf.)()()(00的增量相应于称为函数xxfxfxxfyxy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy2.连续的定义定义1设函数)(xf在),(0xU内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是定义2设函数)(xf在),(0xU内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那末就称函数)(xf在点0x连续.:定义.)()(,,0,000xfxfxx恒有时使当从这个定义我们可以看出，函数)(xf在点0x处连续，必须满足以下三个条件：（1）函数)(xf在点0x处有定义；（2）极限)(lim0xfxx存在，即)(lim)(lim00xfxfxxxx（3）)()(lim00xfxfxx.即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx例2.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx.2sin2xy则,0,时当对任意的,sin有,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy3.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf定理.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf000000lim0xfxfxfxfxfxx例3.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..32),(1],[)(处左连续）在右端点（处右连续；）在左端点（内连续；）函数在开区间（上连续：在闭区间函数bxaxbabaxf连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.时，当为其定义域为基本初等函数由第四节可知，DxDxf0,,)()(lim0xfxx).(0xf5.基本初等函数的连续性.定义域内连续所以基本初等函数在其二、函数的间断点(pointsofdiscontinuity).)(,)(00的间断点为称点则的连续点不是函数如果点xfxxfx：有以下三种情形的间断点为,)(0xfx;)()1(0处没有定义在点xxf;)(lim)2(0不存在xfxx).()(lim)(lim,)()3(0000xfxfxfxxfxxxx但存在处有定义在点1.可去间断点(aremovablediscontinuity).)()(),()(lim)(的可去间断点为函数义则称点处无定在点或，但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx00000例4.,,,,,)(处的连续性在讨论函数11111012xxxxxxxfoxy112xy1xy2解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点x注意可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例4中,,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxfoxy112例5.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的间断点xoxy2.跳跃间断点.)(),0()0(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点.都存在函数在该点左、右极限左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点．例5中的间断点为跳跃间断点．3.第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例6.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x.断点这时也称其为无穷间例7.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x注意函数的间断点可能不只是个别的几个点.这时也称其为振荡间断点．,,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数(Dirichlet’sfunction)在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,,,,)(是无理数时当是有理数时当xxxxxf仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★o1x2x3xyxxfy,,,,)(是无理数时当是有理数时当xxxf11在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:例8.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()0()0(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a定理1.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf例如,,),(cos,sin内连续在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续故xxxx三、初等函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性定理2严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数．例如,,]2,2[sin上单调增加且连续在xy.]1,1[arcsin上也是单调增加且连续在故xy;]1,1[arccos上单调减少且连续在同理xy.),(cot,arctan上单调且连续在xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续.2.反函数与复合函数的连续性.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理３例9,),0()0,(1内连续在xu,),(sin内连续在uy.),0()0,(1sin内连续在xy定理４一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.３.初等函数的连续性1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,,1cosxy,4,2,0:xD这些孤立点的去心邻域内没有定义.注意例10.1sinlim1xxe求1sin1e原式.1sine例11.11lim20xxx求解解)11()11)(11(lim2220xxxxx原式11lim20xxx20.0)()()(lim000定义区间xxfxfxx注意2.初等函数在连续点求极限可用代入法.四、小结思考题1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x4.初等函数的连续性（1）初等函数在其定义区间上连续；（2）初等函数的连续性在求极限时的应用：代入法。思考题１若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在0x连续，)(xf在0x是否连续？思考题解答)(xf在0x连续，)()(lim00xfxfxx)()()()(000xfxfxfxf且)()(lim00xfxfxx)(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf故|)(|xf、)(2xf在0x都连续.但反之不成立.例0,10,1)(xxxf在00x不连续,但|)(|xf、)(2xf在00x连续思考题２设xxfsgn)(，21)(xxg，试研究复合函数)]([xgf与)]([xfg的连续性.思考题解答21)(xxg)1sgn()]([2xxgf12sgn1)]([xxfg0,10,2xx在),(上处处连续)]([xgf在)0,(),0(上处处连续)]([xfg0x是它的可去间断点0,10,00,1)(xxxxf一、填空题：1、指出23122xxxy在1x是第_______类间断点；在2x是第_____类间断点.2、指出)1(22xxxxy在0x是第________类间断点；在1x是第______类间断点；在1x是第_____类间断点.二、研究函数1,11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的图形.练习题三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续.1、1,31,1)(xxxxxf在Rx上.2、xxxftan)(,在Rx上.四、讨论函数nnnxxxf2211lim)(的连续性，若有间断点，判断其类型.五、试确定ba,的值,使)1)(()(xaxbexfx，（1）有无穷间断点0x；（2）有可去间断点1x.一、1、一类,二类；2、一类,一类,二类.二、,),1()1,()(内连续与在xf1x为跳跃间断点.三、1、1x为第一类间断点；2、,2为可去间断点kx)0(kkx为第二类间断点.0,12,,tan)(1xkkxxxxf),2,1,0(k,练习题答案),2,1,0(2,02,,tan)(2kkxkkxxxxf.四、1,0,01,)(xxxxxxf1x和1x为第一类间断点.五、(1);1,0ba(2)eba,1.