微积分8-多重积分-3

微积分理论重积分及其应用Ozyx微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2)().(,bxadyyxfx一、含参变量积分的连续性是变量在上的一个一元连续函数,设函数是在矩形),(yxf),(bbxaRdyyxf),(],[上的连续函数.在上任意确定的一个值,于是),(xx],[bax),(yxfy从而积分xx],[ba存在,这个积分的值依赖于取定的值.当的值改变时,一般来说这个积分的值也跟着改变.这个积分确定一个定义在上的的函数,我们把它记作即微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2定理1如果函数在矩形),(yxf),(bbxaR)(),()(bxadyyxfx],[ba上连续，那么由积分确定的函数在上也连续.)(x证设和是上的两点，则xxx],[ba)1(.)],(),([)()(dyyxfyxxfxxx这里变量在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量.x微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2由于在闭区域上连续，从而一致连续.),(yxfR因此对于任意取定的,存在,使得对于内的任意两点及,只要它们之间的距离小于,即00R),(11yx),(22yx,)()(212212yyxx就有.),(),(1122yxfyxf因为点与的距离等于,所以当),(yxx),(yxx时,就有x.),(),(yxfyxxf于是由（1）式有微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2).(),(),()()(dyyxfyxxfxxx所以在上连续.定理得证)(x],[ba注既然函数在上连续,那么它在上的积分存在,这个积分可以写为)(x],[ba],[ba.),(]),([)(bababadyyxfdxdxdyyxfdxx右端积分式函数先对后对的二次积分.),(yxfyx微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2定理2如果函数在矩形),(yxf),(ybxaR上连续,则)2(.]),([]),([dydxyxfdxdyyxfbaba公式（2）也可写成)2(.),(),(babadxyxfdydyyxfdx微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2我们在实际中还会遇到对于参变量的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量的函数.这样,积分xx3,dyyxfxxx也是参变量的函数.下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质.x微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2定理3如果函数在矩形),(yxf),(ybxaR)(x)(x],[ba],[ba),()(,)(bxaxx)(x上连续，又函数与在区间上连续，并且则由积分（3）确定的函数在上也连续.证设和是上的两点，则],[baxxx.),(),()()()()()()(dyyxfdyyxxfxxxxxxxxx微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2,),(),(),(),()()()()()()()(xxxxxxxxxxxxdyyxxfdyyxxfdyyxxfdyyxxf)4(.)],(),([),(),()()()()()()()()(xxxxxxxxdyyxfyxxfdyyxxfdyyxxfxxx当时，上式右端最后一个积分的积分限不变，0x微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又.)()(),(,)()(),()()()()(xxxMdyyxxfxxxMdyyxxfxxxxxx其中是在矩形上的最大值.根据与在上连续的假定，由以上两式可见，当时，（4）式右端的前两个积分都趋于零.于是，当时，M),(yxfR)(x)(x],[ba0x0x),(0)()(bxaxxx],[ba)(x所以函数在上连续.定理得证微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2下面考虑由积分(*)确定的函数的微分问题.)(xxyxf),(定理4如果函数及其偏导数都在),(yxf),(ybxaR)(x],[ba)5(.),(),()(dyxyxfdyyxfdxdx矩形上连续,那么由积分(1)确定的函数在上可微分,并且二、含参变量的函数的微分微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2证因为,)()(lim)(0xxxxxx为了求，先利用公式(1)作出增量之比)(x.),(),()()(dyxyxfyxxfxxxx由拉格朗日中值定理，以及的一致连续性，我们有xf)6(),,,(),(),(),(),(xyxxyxfxyxxfxyxfyxxf微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2其中，可小于任意给定的正数，只要10x小于某个正数.因此),()(),,(xdydyxyx这就是说.0),,(lim0dyxyxx综上所述有,),,(),()()(dyxyxdyxyxfxxxx令取上式的极限，即得公式（5）.0x微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2定理5如果函数及其偏导数都在),(yxf),(ybxaR)(x)(x],[ba],[ba),()(,)(bxaxx)(x则由积分(3)确定的函数在上可微，并且xyxf),(矩形上连续，又函数与在区间上可微，并且)7().()](,[)()](,[),(),()()()()()(xxxfxxxfdyxyxfdyyxfdxdxxxxx三、莱布尼茨公式微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2证由(4)式有)8(.),(1),(1),(),()()()()()()()()(dyyxxfxdyyxxfxdyxyxfyxxfxxxxxxxxxxxx当时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则0x.),(),(),()()()()(dyxyxfdyxyxfyxxfxxxx微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得),,()]()([1),(1)()(xxfxxxxdyyxxfxxxx其中在与之间.当时,)(x)(xx0x)],(,[),(),()]()([1xxfxxfxxxxx微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2类似地可证,当时,0x).()](,[),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx因此，令，取(8)式的极限便得公式(7).0x公式(7)称为莱布尼茨公式.于是).()](,[),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2应用莱布尼茨公式，得1sin2sincos)(2222xxxxxxydyxxx例12,sin)(xxdyyxyx).(x设求xxxxxxyxx23sinsin2sin2.sin2sin323xxx解微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2例2求).0(ln10badxxxxIab解,ln]ln[xxxyxdyxabbaybay.10baydyxdxI这里函数在矩形yxyxf),()0,10(byaxR上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有baydyxdyI10.11ln11abdyybadyyxbay1011微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2例3计算定积分.1)1ln(102dxxxI考虑含参变量的积分所确定的函数.1)1ln()(102dxxx显然，根据公式(5)得.)1(,0)0(I.)1)(1()(102dxxxx解微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2把被积函数分解为部分分式,得到].111[11)1)(1(2222xxxxxxx]111[11)(102102102xdxxxdxxdx于是],42ln21)1ln([112微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2上式在上对积分,得到]1,0[,1412ln211)1ln()0()1(102102102ddd即.22ln422ln4422lnIII从而.2ln8I微积分II微积分理论冯国臣2020/2/21、含参变量的积分所确定的函数的定义；四、小结2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、莱布尼茨公式及其应用.微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2练习题.)cos(lim2;1lim120201220dyxyyyxdyxxxx．．限：积分所确定的函数的极一、求下列含参变量的.)(2;)1ln()(1220xxxyxdyexdyyxyx．．：二、求下列函数的导数．求为可微函数，，其中三、设)()()()()(0xFxfdyyfyxxFx).1(coscos1cos1ln20axdxxyaxaI四、计算积分：微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2练习题答案.382;41．．一、.22);1ln(21223522xxxyxxdyeyexexx．．二、．三、)(2)(3xfxxf.arcsina四、典型例题习题课教学要求第八章重积分微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2定义几何意义性质计算法应用二重积分定义几何意义性质计算法应用三重积分一、主要内容微积分II微积分理论冯国臣2020/2/21.理解二重积分、三重积分的概念,一、教学要求2.掌握二重积分的计算法(直角坐标、极3.会用重积分求一些几何量与物理量.了解重积分的性质.了解三重积分的计算法（直角坐标、坐标)，柱面坐标、球面坐标).微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2，n，其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，1、二重积分的定义微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．微积分II微积分理论冯国臣2020/2/2性质１当为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(